3️⃣ Cómo trabajar con ecuaciones que involucran funciones trigonométricas - Funciones trigonométricas - Análisis Matemático 66 - Cátedra Gutierrez (Única) | Exapuni

3️⃣ Cómo trabajar con ecuaciones que involucran funciones trigonométricas

Tercera clase de funciones trigonométricas y una de las más importantes de esta tanda 👉 Vamos a aprender cómo trabajar con ecuaciones que involucran seno y coseno. Esto es de lo más difícil que vamos a ver en esta práctica, y es muy muy importante que hayas entendido bien los conceptos de la primera clase de trigonométricas antes de ver esta (porque lo vamos a usar todo el tiempo)

⏱️ Si después de mirar estas clases estás al borde de la locura, a partir del minuto 32:51 te doy apoyo emocional y algunos consejos a tener en cuenta, pero me tenés que prometer que primero te vas a mirar toda la clase, ok?

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Ludmila hace 4 días

holaa, espero que estés bien, una consulta yo en el ejercicio que decía:

sen(2x) = 2sen(2x).cos(x)

pasé todo para la izquierda en vez de a la derecha como hiciste vos, entonces me quedó sen(2x) -2sen(2x).cos(x)=0

entonces a la hora de hacer el factor común me queda sen(2x).(-2cos(x)), entonces a la hora de despejar el coseno nunca me da 1/2. espero que se haya entendido!!

Ludmila hace 4 días

@Ludmila o sea, nunca me queda

2cos(x)-1=0

Flor Profesor hace 4 días

@Ludmila Hola Ludmila! Está perfecto, vos lo podés pasar para el otro lado también, en ese caso como vos decís te quedaría

$\sin(2x) - 2 \sin(2x) \cos(x) = 0$

Y acá cuando sacás factor común te queda

$\sin(2x) \cdot (1 - 2\cos(x)) = 0$

(fijate que si hacés la distributiva recuperás lo mismo que tenías antes)

Entonces, las soluciones van a salir de pedir que $\sin(2x) = 0$ o que...

$1 - 2\cos(x) = 0$

Y fijate que ahi te queda también

$\cos(x) = 1/2$

Asi que llegas a los mismos resultados :)

Creo que la confusión vino cuando sacaste factor común? O en el despeje? Avisame cualquier cosa!

Lu 29 de mayo 20:53

Holis Flor! Tengo una duda sobre el despeje del ejercicio e) sen(2x)=2sen(2x)cos(x), cuando lo igualaste a 0 pasaste el sen(2x) como -sen(x), no tendria que haber sido arcsen(2x)? Eso me confunde, porfi si me pudieras ayudar te lo re agradeceria 🫶🏻

Flor Profesor 30 de mayo 17:26

@Lu Hola Lu! La clave acá está en que no teníamos a la función seno igualada a un número y queríamos terminar de despejar $x$

Por ejemplo, si tuvieramos

$sin(x) = \frac{1}{2}$

Ahi si terminamos de despejar $x$ pasándolo como arcsin y nos queda del lado izquierdo únicamente $x$ (igualmente en esta clase, fijate que vimos que en realidad esta ecuación va a tener infinitas soluciones, la calcu al usar el arcsin nos va a dar únicamente la solución del primer cuadrante)

En cambio, acá tenemos una situación diferente, porque yo tengo $x$ por todos lados, del lado derecho y del izquierdo, entonces la expresión completa $\sin(2x)$ la puedo pasar para el otro lado (que es totalmente legal, imaginate que en el fondo lo que estamos haciendo ahi es restando en ambos miembros $\sin(2x)$, entonces por eso del lado izquierdo nos queda cero y del lado derecho nos aparece restando)

Se ve la diferencia?

Farid 9 de mayo 19:27

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holaa profe saqué este ejercicio de el altillo, lo traté de hacer y no pude, traté de ordenar los datos y llegué a que era un número positivo en el cual Y es mayor a 7 y a su vez menor que 23 y me hice un gráfico chiquito, pero la verdad no sé si está bien

Flor Profesor 10 de mayo 18:21

@Farid Hola Farid! Este ejercicio lo resolví en video acá en el curso, fijate que está en la parte de Funciones elementales (Parte 2) -> Ejercicios de parcial, es el Ejercicio de parcial 5

Avisame si viendo la resolución queda un poco más claro por dónde venía la mano! (no es un ejercicio fácil, más en este punto de la materia, así que entiendo tu confusión jaja)

Belén 29 de abril 09:57

holaa profe, una pregunta, quería saber del minuto 29, porque cuando expresas que sin importar la cantidad de vueltas que de la circunferencia, le sumas a la solución 2kpi, no entiendo lo del 2, de donde lo sacas, o es la fórmula así para cualquier resultado, k pi lo comprendo, pero eso no disculpas las molestias

Flor Profesor 29 de abril 15:18

@Belén Hola Belen! Nooo, ninguna molestia, para eso estoy acá! Acordate que una vuelta completa de circunferencia son $2\pi$ (porque va de 0 a $2\pi$) -> Entonces, si yo digo que le sumo $2k\pi$, donde $k$ es un número entero, estoy así considerando tooodas las soluciones sin importar la cantidad de vueltas que yo de -> Porque si vas reemplazando $k$ por tooodos los números enteros, vas a obtener siempre múltiplos de $2\pi$ (como $4\pi$, $6\pi$, $8\pi$, $-4\pi$, etc, etc...) así que van a ser todas cierta cantidad de vueltas

En definitiva, ese $2$ lo tenemos que poner porque una vuelta completa son $2\pi$ y entonces una cierta cantidad de vueltas siempre va a tener que ser un múltiplo de ese valor :)

Se ve un poco mejor?

Belén 30 de abril 09:18

@Flor ahhh genial, muchísimas gracias, me quedé con que la vuelta valía 1pi, pero es verdad que eso eran 180grados

Dante 17 de abril 22:25

Hola flor como estas? Aca en mi guia de ubaxxi en un ejercicio de ecuaciones con trigonometria dice: 2 sin(2x − π) = √ 3 con x ∈ [−π, π]

La verdad no tengo la menor idea como empezar, porque lo iguale a cero pero no esta bien. necesito ayuda!!! Gracias flor, muy buenos videos

Flor Profesor 18 de abril 10:05

@Dante Hola Dante! Las guías de UBA XXI las tenés resueltas acá en el curso, ese ejercicio está resuelto acá también por mi :)

Fijate que en la página inicial del curso, al lado de cada práctica tenés un botón que dice "Ver guía" -> Si vas a la de Números reales y funciones, tenés todos los ejercicios resueltos de esa práctica, incluso este que es el 37 d)

Avisame si viendo la resolución queda más claro y sino lo seguimos charlando ahi! 😊

Flor Profesor 19 de abril 11:33

@Dante Mmmm, qué raro! Yo ahí probé tanto de la compu como desde el celular y pude abrirla sin problemas... escribí porfa a info@exapuni.com así te ayudan desde tu usuario, a ver qué es lo que está pasando, porque ahí hay toooooda una parte del curso que no vas a estar aprovechando sino, y deberías poder entrar sin problemas... avisame si lo pudiste solucionar porfa!

Damian 4 de abril 22:32

Hola profe, entendí su procedimiento del ejercicio (b) del minuto 14:40, mi pregunta es la siguiente: porque no puedo pasar el 3/2 restando a la izquierda y buscar los valores ? algo me dice que seguramente no tiene solución pero no logro verlo bien

Flor Profesor 5 de abril 09:29

@Damian Hola Damian! Es buenísima esta pregunta! Efectivamente podemos pasar tranquilamente el $3/2$ restando para el otro lado y nos quedaría:

$\cos(2x) - \frac{3}{2} = 0$

Esta ecuación y la del enunciado son equivalentes, así que buscar los $x$ para los cuales $\cos(2x)$ vale $3/2$ es lo mismo que buscar los $x$ para los cuales $\cos(2x) - \frac{3}{2}$ vale cero. Así que tranquilamente podríamos resolver a partir de acá... el problema es que no tenemos las herramientas todavía para hacerlo 😅

Vas a ver que en la práctica 7 vamos a resolver ecuaciones de este estilo usando estudio de funciones :D

Ivan 18 de marzo 20:20

Buenas Flor! Espectaculares las clases... Tengo una pregunta sobre:

sen(2x) = 2 sen(2x) cos(x)

Se me ocurrió hacer:

sen(2x) / sen(2x) = 2 cos(x) → cos(x) = 1/2

Sería restringiendo el dominio, evitando denominador = 0:

ℝ - {0 + kπ}

¿Por qué está mal esto? ¿Tiene que ver con perder soluciones? Si podes darme aunque sea una mini explicacion me re sirve, gracias!

Flor Profesor 19 de marzo 09:41

@Ivan Hola Ivan! Me alegro mucho que te estén sirviendo las clases :D

Tu pregunta está buenísima, y el tema es así: Si vos pasas ese $\sin(2x)$ dividiendo para el otro lado, para simplificarlo, tendríamos problemas si vale cero. Acá no podemos elegir nosotros restringir el dominio, porque el ejercicio nos pedía hallar todos $x$ reales que cumplían esa ecuación.

Lo que si podrías hacer, y sería una forma alternativa de encarar este ejercicio es decir... ok, paso ese $\sin(2x)$ dividiendo, pero ahí estoy en el caso en el cual $\sin(2x) \neq 0$. Entonces ponés "Caso $\sin(2x) \neq 0$" y arrancás a buscar esas soluciones.

Después analizas aparte el caso $\sin(2x) = 0$. Fijate que si vos en la ecuación original planteas que $\sin(2x) = 0$, la ecuación se verifica, te queda $0 = 0$ ;). Así que entonces ahi buscas los $x$ que hacen que $\sin(2x) = 0$.

Fijate que en definitiva es lo mismo que estuvimos haciendo en la resolución del video, pero razonandolo desde otro lado. La clave acá está en que nos pedían hallar todos los $x \in \mathbb{R}$ que verificaban la ecuación, así que teníamos que cumplir eso, no podíamos elegir buscar las soluciones sólo dentro de un cierto conjunto de $x$ más acotado jeje

Aclaro por las dudas, podría ocurrir si en otro contexto que nos den una ecuación y nos pidan hallar las soluciones dentro de otro intervalo... por ejemplo, si nos hubieran pedido buscar los $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ que verificaban esa misma ecuación, ahí sí en ese intervalo $\sin(2x)$ nunca vale cero, así que lo pasaba re tranquila dividiendo y seguíamos resolviendo.

Ivan 19 de marzo 16:17

@Flor Clarísimo, muchas gracias! Sigo viendoooo

VICTORIA 11 de marzo 14:27

Hola Flor en el minuto 13:37 cuando aplicas la identidad trigonometrica a mi me da en la calcu SYNTAX ERROR

Flor Profesor 11 de marzo 17:04

Hola @VICTORIA ! Probá de escribirlo así en la calcu:

(sin pi/6)^2 + (cos pi/6)^2

Ahí vas a ver que te aparece $1$ :) Avisame cualquier cosa!

VICTORIA 12 de marzo 20:23

@Flor Gracias

Caro 21 de septiembre 20:54

Holis Flor, espero que andes excelente. No entendí muy bien cómo sale sen(kπ), me gustaría saber si podrías explicarmelo con algún ejemplo :)

Flor Profesor 22 de septiembre 11:39

@Caro A lo que me refería ahí es que siempre que vos tengas $\sin(k\pi)$, es decir, que el ángulo al cual le estás calculando el seno es un múltiplo de $\pi$ (k puede ser cualquier entero), entonces te va a dar cero. Por ejemplo

$\sin(\pi) = 0$, $\sin(-\pi) = 0$, $\sin(2\pi) = 0$, $\sin(-3\pi) = 0$, y así...

Entonces, si yo tengo una ecuación donde por ejemplo me plantean que $\sin(x) = 0$ -> Yo sé que ese ángulo $x$, si vale cualquier múltiplo de $\pi$, entonces efectivamente el seno va a ser cero. Por eso ahí diríamos que esta ecuación tiene infinitas soluciones de la forma $x = k\pi$, con k un número entero -> En la medida que vas reemplazando k por los infinitos números enteros, obtenes todos los infinitos x que hacen que $\sin(x) = 0$

Avisame si ahí queda un poco más claro!

Caro 26 de septiembre 16:18

@Flor Ahora sí, muchas gracias flor <3

Caro 21 de septiembre 19:56

Hola flor como estás? Te hago una consulta, cuando decís que la segunda vez que la función pase por 5/6 va a ser 5/6π + 2π, no sería 5/6π + 4π? Ya que ahí pegás dos vueltas, y ahí tendría sentido que cuando la función pase por 3ra vez sea 5/6 + 6, donde pegarías 3 vueltas

Flor Profesor 22 de septiembre 11:36

@Caro Hola Caro! O sea, $2\pi$ es una vuelta completa de circunferencia. Entonces, si vos te parás en $\frac{5}{6} \pi$ -> Le das una vuelta completa, es decir, $\frac{5}{6} \pi + 2\pi$ volvés a caer en el mismo lugar -> Si ahora le doy ooootra vuelta más (es decir, ya di dos vueltas), ahí tenemos $\frac{5}{6} \pi + 4\pi$ y otra vez vuelvo a caer en el mismo lugar -> Si le doy tres vueltas, tenemos $\frac{5}{6} \pi + 6\pi$ y volvemos de nuevo al mismo lugar, y así podríamos seguir... pero ya con darle una vuelta arrancan a repetirse.

Fijate que siempre que le sumemos a nuestro ángulo un múltiplo par de $\pi$ (es decir, $2\pi$, $4\pi$, $6\pi$... etc) volvemos a caer en el mismo lugar.

Celina 2 de septiembre 20:21

Hola profe! ¿Como esta? Queria hacerle una consulta respecto a la calculadora que usa, yo tengo una calculadora Kenko (la economica) y aun teniendo la calculadora en radianes me siguen saliendo resultados decimales al poner en la calculadora operaciones como cos(π/3), cos(π/4) etc, en el minuto 27:50 al dividir el decimal por π me seguia saliendo en decimales, si me comprara una calculadora Casio me dejaran de salir resultados deciamles?

Flor Profesor 3 de septiembre 08:38

@Celina Hola Celina! Nono, no es un tema de marca eh... con que tengas cualquier calculadora científica va a estar bien. O sea, cuando vos ponés arccos (1/2) y eso dividido pi, te debería estar dando 0.3333333... y para pasarlo a fracción apretas "Shift" y después una tecla que por lo general está a la izquierda que dice a b/c... y ahí te deberia aparecer 1/3 (que es lo mismo que 0.33333...)

Avisame si era ese el problema, sino cualquier cosa me podés adjuntar una foto también!

Celina 3 de septiembre 13:51

@Flor Hola profe! Sii, me re ayudo eso que me dijo, muchas gracias :)

Sebastian 5 de mayo 18:06

hola profe, me dieron un ejercicio para practicar para el parcial y no se como encararlo. seria este si podrias darme una ayuda lo agradeceria

Sebastian 5 de mayo 18:07

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Flor Profesor 6 de mayo 08:33

@Sebastian Hola Sebas!! Este ejercicio lo llegaron a resolver en clase? No les hicieron ninguna aclaración para modificar nada en el enunciado? Te pregunto porque estoy hace un rato largo resolviendolo y chequeando todo con GeoGebra al lado, y estoy bastante segura que no hay ningún valor de $a$ que haga que esta función no tenga ninguna asíntota vertical en ese intervalo (pero el ejercicio parece dejar implicito que si se espera que uno encuentre al menos un $a$, para poder avanzar con la otra parte)

O sea lo primero que tendríamos que hacer es ver si en el intervalo $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ hay algunos valores de $x$ que hacen cero el denominador (y por lo tanto serían candidatos a asíntota vertical). Igualando el denominador a cero, te queda una ecuación trigonométrica (con sus dificultades), pero que se puede resolver y que tiene tres soluciones (o sea te quedan tres $x$ excluidos del dominio en ese intervalo). Es decir, tendríamos tres candidatos a asíntota vertical. El problema es que después no podés encontrar un $a$ que haga que ninguno de esos tres candidatos sea efectivamente asíntota vertical (siempre alguna asíntota terminas teniendo).

Porfa no dejes de avisarme si charlan hoy este ejercicio en clase, o si lo consultas a tus profes de la cursada, porque para mi acá hay algo que no cierra, así lo seguimos charlando!

Juan 15 de abril 16:40

Buenas! Una consulta. Estoy en la misma catedra pero en un ejercicio de trigonometría apareció algo que me parece no haberlo visto en los videos, especificamente la parte de la U, ya que hasta el momento los ejercicios tenian la solucion en una sola llave, y sin uniones.

El ejercicio es asi: (e = pertenece), (>< = a los nums enteros)

sen x = 0.8 = 0.92

x1 = {arcsen (0,8) = 0,92}

x = {x1 + 2kπ K e ><} U {π - x1 + 2Kπ K e ><}

Y el otro que nos dio se ve asi:

cos x = 0,8

x1 = arcos(0,8) = 0,64

x = {x1+2kπ K e ><} U {-x1 + 2kπ K (- ><)}

El profe comentó algo de funciones pares e impares. Y posteriormente hablo de tangentes pero aclaró que se veía en limites, asi que tangente no me preocupa.

Gracias, los videos me estan re sirviendo!

Flor Profesor 15 de abril 17:23

@Juan Hola Juan! De casualidad tenés una foto de esos enunciados así los leo bien? Fíjate que ahí abajo tenés el icono para agregar imágenes...

Estoy tratando de descifrar lo que pusiste y creo que me imagino por donde viene, pero si tenés la foto del enunciado geniaaal, así mañana a la mañana que voy a estar respondiendo dudas desde la compu te puedo contestar bien!

Flor Profesor 16 de abril 07:30

@Juan Juan acá estoy! A ver, de lo que escribiste yo estoy entendiendo esto. Por ejemplo, en el primer caso: Vos querés resolver la ecuación

$\sin(x) = 0.8$

Esto es equivalente a hacer en la calculadora

$x = \arcsin(0.8) = 0.92... \rightarrow$ A esta solución la llamamos $x_1$

Ahora, como vimos en la clase esta no es la única solución. Por un lado vas a tener infinitas soluciones cada vez que des una vuelta completa de circunferencia y vuelvas a caer en el mismo lugar. Es decir, todos los $x$ de la forma:

$x = x_1 + 2k\pi$ (con k un número entero) también van a ser solución.

Y por otro lado, en el segundo cuadrante vimos que también el seno es positivo, así que va a haber un "ángulo equivalente a $x_1$" en el segundo cuadrante, donde también el $\sin(x) = 0.8$. Para buscarlo en el segundo cuadrante hacíamos $\pi - x_1$. Por eso, también son solución todos los $x$ de la forma:

$x = \pi - x_1 + 2k\pi$ (le agrego el $2k\pi$ para ya estar incluyendo a todos)

Ahora, yo esta respuesta la puedo dar así, o expresarla como una unión de conjuntos. O sea, digo que la solución completa a la ecuación va a ser el conjunto formado por todos los $x$ de la forma $x = x_1 + 2k\pi$ (UNIÓN) el otro conjunto, se entiende? Escribió la respuesta completa de otra forma, pero es lo mismo que lo que nosotros veníamos haciendo en la clase (de hecho en varios ejemplos llegamos así también a varias soluciones)

Con respecto a lo de funciones pares e impares, te comento el concepto básico en dos renglones, pero no es difícil.

Una función par verifica que $f(x) = f(-x)$. Por ejemplo, el coseno es una función par ($\cos(\pi) = \cos(-\pi)$ y así para cualquier $x$ que se te ocurra, se entiende?) El seno, en cambio, es un ejemplo de función impar. Una función impar verifica que $f(x) = -f(-x)$. Esto también se puede ver gráficamente.

Avisame Juan si venía por este lado de la duda y cualquier cosa lo seguimos charlando!

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