Conjuntos e inecuaciones

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➡️ En esta clase vamos a estar trabajando con conjuntos, aprendiendo cómo representándolos en la recta real y expresándolos como intervalos. Para eso va a ser clave aprender a trabajar con inecuaciones, que también vamos a estar viendo acá... así que se nos viene una clase larga por delante, pero con muchos conceptos nuevos y donde vamos a estar resolviendo muchos ejercicios!

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Avatar MARTA 14 de mayo 12:32
Hola Profe! Acá tengo una duda con este ejercicio porque tengo modulo en ambos lados y me perdí y no se como hacerlo

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Avatar Flor Profesor 15 de mayo 08:59
@MARTA Hola Marta! Espero haber llegado a tiempooooo, porque hay algunos que ya hoy rendían! 

Para resolver esta inecuación podemos plantear al principio, como siempre, que para que esa fracción sea $\leq 0$, entonces hay dos posibilidades:

* Numerador $\geq 0$ y denominador $< 0$

*Numerador $\leq 0$ y denominador $> 0$

Ahora, está bien que te hayas trabado acá porque con esos módulos la cosa se empieza a tornar rara jaja 

Entonces, una idea mejor que se me ocurre es que vos sabés que $|x+3|$ "se parte" justo en $x=-3$, mientras que $|x-1|$, "se parte" en $x=1$ 

Lo primero que podemos hacer entonces es dividir en casos, y analizar 

* $x < -3$

* $ -3 < x < 1$

* $x > 1$

Entonces, según cada caso, los módulos te van a quedar escritos de manera diferente y ahí resolves esa inecuación que te quedo (para cada caso) usando la idea esta de que numerador y denominador tienen distinto signo, pero ya sin los módulos metidos

Se entiende mejor la idea? A vos qué día te toca rendir? MUCHA SUERTEEEEE ✨✨✨
Avatar MARTA 15 de mayo 10:22
@Flor Mañana rindo profe, muchas gracias por toda la ayuda y el curso! Me ayudó a entender mucho mejor los temas🥰 Explicás muy bien
Avatar Giovanni 8 de mayo 19:45
Buenasss, para no marcar el error de hacer distributiva, no. Dependera de lo que este pidiendo la consigna tambien no?. (bolupregunta)
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Avatar Flor Profesor 8 de mayo 21:12
@Giovanni Hola Giovanni! Nono, ninguna bolupregunta jajaja, está perfecto! Vos acá podrías también elegir hacer la distributiva y resolver esta misma inecuación con otro razonamiento y aún así llegar al mismo resultado

Fijate que si haces la distributiva nos queda

$2x^2 - 3x > 0$

Es decir, estamos buscando los $x$ que si yo los meto ahí, me devuelven un valor positivo (> 0)... o sea, eso sería el conjunto de positividad de esa función cuadrática $2x^2 - 3x$! Si lo pensás desde este lado, llegas al mismo resultado 

El enunciado es el mismo, pero resolves el mismo problema desde dos lugares muy distintos (ambos recontra válidos)

Igual vas a ver que, más adelante y ya no necesariamente con inecuaciones sino en general, vamos a ir identificando situaciones en las cuales, como vos decís dependiendo lo que necesitamos, nos convendrá hacer distributivas o todo lo contrario (factorizar)
Avatar ciro 26 de abril 19:53
hola profe dos preguntas, en el f puedo poner cualquierar de las dos respuestas o tengo que poner las dos respuestas obligatoriamente. y la Otra, que application usas para la tablet porque me gustaria tener la misma jeje, gracias
Avatar Flor Profesor 27 de abril 09:19
@ciro Hola Ciro! En el f) vos podés elegir cualquiera de los dos caminos para resolverlo, con el que te sientas más cómodo va a estar bien, ambos son válidos y están bien justificados, vas a llegar al mismo resultado con cualquiera de los dos ;)

La app que yo uso es Samsung Notes, mi tablet es una Samsung S6 Lite, hace poco armé un reel en instagram mostrándola porque está en el top de más preguntas que me hacen y yo la amo y recontra recomiendo -> https://www.instagram.com/reel/DHG8zT-oy5h/?utm_source=ig_web_copy_link&igsh=MzRlODBiNWFlZA== 
Avatar Avril 27 de abril 14:14
hola profe ☺️ resolví el h como vos habías hecho en el punto anterior es decir graficando la función y llegué al mismo resultado pero quería saber si el razonamiento estaba bien


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Avatar Flor Profesor 28 de abril 09:45
@Avril Hola Avril! Perfectooooo :) Me encanta que te hayas animado a resolverlo de esta manera! Esta perfecto como lo hiciste 😍
Avatar ciro 26 de abril 20:20
@Avril por que el conjunto de negatividad seria la respuesta?
Avatar Delfina 10 de abril 13:44
Hola cómo se hace esto ? Me pide q la resuelva y q la interprete geométricamente

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Avatar Flor Profesor 10 de abril 19:22
@Delfina Hola Delfi! La inecuación que nosotros tenemos que resolver es $ |x| + 1 < |x - 3| $

Ahora, para poder resolverla lo primero que tenemos que hacer es sacarnos de encima esos módulos y para eso tenemos que entender bien cómo se comporta cada una. Acordate que las funciones con módulo las pensamos como funciones partidas así:

$ |x| = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $

$ |x - 3| = \begin{cases} -(x-3) & \text{si } x < 3 \\ x - 3 & \text{si } x \geq 3 \end{cases} $

(esto es suuuuper importante, cualquier cosa si todavía no lo hiciste mirate la clase "Funciones con módulo")

Entonces, tenemos que separar en distintos casos, vamos haciendo esto despacito:

* Cuando $x < 0$, a $|x|$ lo vamos a escribir entonces como $-x$, y a $|x-3|$ lo vamos a escribir como $-(x-3)$, o lo que es lo mismo, $-x+3$. Reemplazamos esto en nuestra inecuación:

$ -x + 1 < -x+3 $

Si de acá despejamos nos queda:

$ 1 < 3$

Y esto se cumple siempre, eso quiere decir que nuestra inecuación se cumple siempre en este intervalo, es decir, cuando $x < 0$ se va a cumplir que $f < g$

*Cuando $0 < x < 3$, a $|x|$ lo vamos a escribir como $x$ y a $|x-3|$ lo vamos a seguir escribiendo como $-x+3$. Reemplazamos en nuestra inecuación:

$ x + 1 < 3 - x $
$ 2x < 2 $
$ x < 1 $

Es decir, en este intervalo se cumple nuestra inecuación sólo si $x$ es menor a 1. 

*Cuando $x > 3$, $|x|$ lo escribimos como $x$ y $|x-3|$ lo escribimos ahora como $x-3$ y nos queda:

$ x + 1 < x - 3 $
$ 1 < -3 $

Esto es absurdo, nunca se cumple, por lo tanto nunca se cumple nuestra inecuación cuando $x > 3$. 

Juntando todo, la inecuación $f(x) < g(x)$ se cumple en el intervalo $(-\infty, 1)$. 

Interpretación: Resolver la inecuación $ f(x) < g(x) $ implica encontrar los puntos donde el gráfico de $ f(x) $ está por debajo del de $ g(x) $. Según lo que encontramos, esto debería ocurrir en el intervalo $(-\infty, 1)$. Consejo, probá de graficar las dos funciones en GeoGebra y vas a ver que efectivamente es la respuesta correcta y para todos esos $x$ el gráfico de $f$ está abajo del de $g$. 

(Ahora entendés por qué también prefería que la duda me la dejes acá jajaja no sólo para no olvidarme, sino para poder escribir bien todo este choclo 😅)
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