Métodos de Integración: Sustitución

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➡️ Clase recontra mil importante, donde vamos a ver el primer método de integración: sustitución. Es una clase pensada para verla completa y prestando máxima atención, vamos a recorrer distintos ejemplos claves resolviendo integrales que salen por sustitución.

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Avatar Frank 25 de julio 23:28
2025-07-25%2023:26:16_8794585.png2025-07-25%2023:27:08_3901504.pngHoli Flor! estaba haciendo finales y ví que tengo varios problemas con los TFCs que me dan a resolver y con las integraless, cuando estaba viendo cómo se resolvía ese problema no entendí por qué se hacían todas esas sustituciones... Hay algo más parecido a lo que vimos en el curso para resolver esas integrales?

Avatar Flor Profesor 26 de julio 12:42
@Frank Hola Frank! Nooo, claro, es que este problema no es de TFC -> Acordate que el TFC nos da una herramienta para poder derivar funciones donde la variable (la $x$) estaba en uno de los límites de integración, pero nosotros acá no queremos derivar nada, lo que queremos es resolver esa integral...

Este tipo de ejercicios es muuuy típico de finales (y no lo era en parciales), acá en el curso tenés varios que yo resolví de este estilo en la parte de "Final" (abajo de todo en el curso), ahi hay 4 finales resueltos y además en YouTube tengo resuelto otro en video de 2022, entre todos esos tenés varios ejemplos de este estilo -> Igual vos lo razonaste perfecto en este eh, es así como lo resolviste... :)
Avatar Catalina 19 de junio 10:25
hola flor como estás? en el minuto 31:30 cuando te queda du/3. vos lo pasas como 1/3 y en clase hicimos uno parecido, pero lo pasa como 3. y siempre paso como número entero, no como fracción. sobre 1/el número. por que es?
Avatar Flor Profesor 20 de junio 09:44
@Catalina Hola Cata! Tenés foto del ejercicio que hicieron en clase? Lo que puede ser que estén haciendo, es esto ->

Yo acá digo 

$du = 3 \cdot (x^2 - 2x) \, dx$

Entonces

Opción 1 para pensarlo (la que yo hice en el video)

Como lo que tengo en mi integral es $(x^2 - 2x) \, dx$, digo "si yo despejo eso en mi expresión, pasando ese $3$ dividiendo, entonces me doy cuenta que todo eso que tengo en mi integral es $\frac{du}{3}$ -> Así que cuando reemplazo en mi integral pongo eso

Esto funciona perfecto, lo hace todo el mundo, pero no es 100% riguroso desde el punto de vista matemático, por eso dependiendo que tan formal sea tu profe, puede ser que lo piense así...

Opción 2 para pensarlo (la que yo sospecho que pudieron haber hecho en clase)

Como nos dimos cuenta que $du = 3 \cdot (x^2 - 2x) \, dx$ y yo en mi integral tengo $(x^2 - 2x) \, dx$, entonces necesito que me aparezca eso en mi integral, lo que yo sé que es exactamente $du$ -> Lo que hago entonces, para "forzar" a que me aparezca es multiplicar y dividir por 3 en mi integral:

$\int \frac{3}{3} \cdot \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 7} \, dx$ 

Entonces, denominador es $u$ y ahi "me apareció" $3 \cdot (x^2 - 2x) \, dx$ que es exactamente $du$, así que agarro todo eso, digo que es $du$ y también me termina quedando

$\int \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} \, du$

Avisame si era eso o si me falló la intuición y te confundí más jajaja buen findeee
Avatar Catalina 21 de junio 15:43
@Flor holaa, habia derivado √x. y le quedaba 1/2√x. y ese dos lo pasaba multiplicando para el otro lado pero asi como estaba, no como fraccion (1/2). capaz era porque estaba en el denominador 
Avatar Catalina 13 de junio 19:39
holaaa flora, como estas? por el min 24

2025-06-13%2019:39:32_6199856.png
no entendi porque no hay que poner ese 1/2x, como hicimos en los casos anteriores. graciass
Avatar Flor Profesor 13 de junio 19:45
@Catalina Hola Cata! A ver, vos tenés dos maneras de pensarlo... Una es, cuando identificas que

$du = 2x \, dx$

y ves que es exactamente lo que tenés ahí en la integral (que vos lo englobaste todo y dijiste "esto es = du"), listo en el siguiente paso entonces todo eso lo escribís directamente como du y lo de adentro del coseno como u

Ahora, otra forma de pensarlo, es decir, "despejo dx" y me queda $dx = \frac{du}{2x}$ 

Entonces, voy ahora a mi integral y donde dice $dx$ reemplazo por eso:

$\int 2x \cos(u) \frac{du}{2x}$

Y ahi se me simplifican los 2x y queda lo mismo que razonándolo de la otra manera

Son dos formas diferentes de pensarlo, a veces (como en este caso) es indistinto que lo pienses de una u otra, razonalo como te sea más fácil, otras veces en integrales más dificiles (donde "a simple vista" no podamos identificar quién es du en nuestra integral) si nos convenga más pensarlo como en la última forma, "despejando dx" y reemplazandolo en nuestra integral 
Avatar Catalina 13 de junio 19:52
@Flor graciassss ❤️
Avatar Pilar 10 de junio 18:21
hola flor, como estas?? me quedó una duda respecto a por qué a veces al realizar la sustitución de los diferenciales en algunos casos se despeja el dx y en otros casos se despeja el du, o sea son distintas formas de llegar a un mismo resultado o yo estoy entendiendo mal? no se si se entiende bien a qué me refiero
Avatar Flor Profesor 10 de junio 19:07
@Pilar Hola Pilar! O sea, la idea es que si tu integral original está en la variable $x$ (o sea, te aparece $dx$ ahí) y elegimos hacer una sustitución por la variable $u$, entonces nosotras vamos a tener una expresión que nos dice que $du = \text{algo} dx$ -> Entonces a partir de acá hay distintas formas de pensarlo aunque siempre tu objetivo va a ser tener escrita tu integral ahora toda en términos de $u$

Por ejemplo, en el caso del minuto 22:50, yo ahí directamente ya me doy cuenta que como $du = 2x \, dx$, entonces digo "ok, todo esto es du" y en el siguiente paso lo escribo así -> Pero por ejemplo, puede ser que también veas a otros profes (o incluso yo en algun otro ejercicio) decir, despejo dx y lo reemplazo, y me queda

$dx = \frac{du}{2x}$

Entonces, cuando reemplazas esto en tu integral, se te simplifica con el otro $2x$ que tenías, y en definitiva te queda igual 

Se va entendiendo un poco mejor? O sea, son distintas formas pero tu objetivo (aunque te des cuenta x distintos caminos) es que tu integral quede escrita solo en términos de u :)
Avatar Pilar 10 de junio 19:14
@Flor aaaah okey ya entendí, mil gracias flor! gracias por tu dedicación ;)
Avatar Noah 13 de mayo 17:32

2025-05-13%2017:31:31_3258273.pnghola flor consulta, esta mal de esta forma  simplificar el 2x ?
Avatar Flor Profesor 13 de mayo 19:31
@Noah Hola Noah! Está perfecta también esta forma de pensarlo (alguien muy matemático/a purista te diria que está mal expresado jajaja pero todo el mundo lo hacemos así) Vos estás por UBA XXI no? Porque si estas en otra facu y sabés que tu profe hincha con eso y tenés que entregar el desarrollo, entonces lo ajustamos y te digo como ponerlo (la integral que terminás resolviendo es la misma eh), pero sino quedate tranqui que la sustitución está impecable
Avatar VICTORIA 7 de mayo 15:15
Hola Flor viste en esta parte cuando pusiste -sin no entiendo por que es -sin si en la clase de integrales por tabla cos(x) era igual a sen (x). Yo habia decidido elegir cos(2x) como u porque en la clase de integrales por tabla habia visto que cos (x) era igual a sin (x) y en cambio sen (x) era -cos(x)2025-05-07%2015:12:25_4311921.png
Avatar Flor Profesor 7 de mayo 15:44
@VICTORIA Hola Vicky! Mucha atención con esto... cuando nosotros definimos quién es nuestro $u$ en la sustitución, para obtener $du$ tenemos que derivar 

En este caso teníamos $u = \cos(2x)$, así que para obtener $du$ derivamos eso usando regla de la cadena, y por eso nos queda

$-\sin(2x) \cdot 2$

Se ve?
Avatar VICTORIA 8 de mayo 08:53
@Flor Ahhhhhh ookok graciaaas
Avatar Sarasino 5 de noviembre 20:16
guarda con usar el segundo método mi profe me reto por que puede que pase algo dividiendo que, de cero, lo vio y no le gusto me dijo que si lo ve asi en el parcial está mal yo iría por la primera opción que es despejar la constante que es mucho más fácil que despejar dx

Avatar Flor Profesor 5 de noviembre 20:57
@Sarasino Hola Facu! Jajaja, el tema de tratar los diferenciales como si fueran fracciones siempre es un punto complicado con la gente que hace matemática, que los tratan de forma mucho más rigurosa. Acá en este video (que está en YouTube) hablé con muy poco filtro de eso y hasta me inspiré y armé un meme -> https://www.youtube.com/watch?v=q8IcaU9YKhI&t=1042s (en la integral que resolvemos en el minuto 15:10)
Avatar Sarasino 6 de noviembre 17:59
@Flor gracias flor si mi profe que es muy estrica me vio hacer eso y casi me mata jajja 
Avatar Lucia 27 de junio 14:46
hola flor, me dejo algo confusa el resultado del ultimo ejercicio. de donde es que aparecio el 1/2?
Avatar Flor Profesor 27 de junio 20:45
@Lucia Hola Lucia! Fijate que en el último ejercicio nosotras definimos que:

$du = \cos(2x) \cdot 2 \, dx$

Es decir, que $\cos(2x) \, dx$ que es justo lo que tenemos en nuestra integral es...

$\frac{du}{2} = \cos(2x) \, dx$

Entonces, cuando escribimos nuestra integral en términos de $u$, nos queda:

$\int \frac{1}{u} \frac{du}{2}$

que es lo mismo que

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du$

y ese $1/2$ lo podemos sacar afuera de la integral multiplicando 

Se ve mejor ahora?
Avatar Lautaro 21 de junio 18:14
Hola Profe, no logre entender el cuarto ejercicio, 2x.cos(x^2+1)dx, porque cuando te queda du=2x.dx no pasaste el 2x dividiendo sobre el du como en los otros ejercicios?
Avatar Flor Profesor 22 de junio 09:10
@Lautaro Hola Lautaro! Son dos formas distintas de hacerlo pero totalmente análogas. Una opción, que es la que yo por lo general uso (y la que usé en este ejercicio) es, una vez que vos definiste que 

$du = 2x \, dx$

identifico que el $2x \, dx$ lo tengo en la integral y a todo eso lo englobo y lo llamo $du$ (minuto 22:50)

Otra opción "sería despejar el $dx$" y decir que

$dx = \frac{du}{2x}$

y cuando lo reemplazas en la integral, simplificas los $2x$. Por cualquiera de los dos caminos terminás llegando a la misma integral escrita sólo en $u$. Se ve mejor ahí? 
Avatar Juani 12 de junio 18:46
flor cómo estas? una pregunta. por qué al integrar 1/x pones el contenido del logaritmo en un módulo? 
es decir, no entiendo el motivo del módulo en esta igualdad
 (integral de) 1/x   =    ln |x|
Avatar Flor Profesor 12 de junio 18:51
@Juani Hola Juani! Pensá que lo de adentro del logaritmo nunca nunca puede ser negativo, por eso para asegurarnos de eso es que el resultado queda logaritmo del módulo de $x$ (que siempre es positivo, por más que $x$ sea negativo) 

Justo estaba terminando de responder las dudas de hoy y me entró la tuya jajajaja, más rápido que ChatGPT eh xD
Avatar Juani 12 de junio 20:11
jajaja sos una luz profe! gracias, ya entendí (:
Avatar Matias 6 de junio 15:51
flor, no entiendo como hacer este, no entiendo xq hace x en 0 y u en 0, ni como relacionar las integrales, solo se que en el barrow tienen el 02024-06-06%2015:50:49_1996757.png
Avatar Matias 6 de junio 15:53
no me deja adjuntarte como intenté hacerlo, pero hice hasta el barrow de las dos integrales 
Avatar Flor Profesor 6 de junio 18:33
@Matias Hola Mati! Fijate que la integral que vos conoces cuánto da es

$\int_{0}^{8} f(x) \, dx = 12$

La $x$ es simplemente el nombre de la variable, es decir, también vale que

$\int_{0}^{8} f(t) \, dt = 12$

o que

$\int_{0}^{8} f(u) \, du = 12$

se entiende? Eso parece básico, pero se que a veces cuesta, y es la clave... Entonces fijate que para resolver la integral que te pide el enunciado, vos tenés que intentar que te aparezca $f(u)$ y vos tenés $f(x^3)$, entonces la sustitución natural para arrancar es mandarte con $u = x^3$, y de paso te encaja perfecto para meter ese $x^2$ dentro del $du$... Ahora, nosotros estamos acostumbrados a que siempre que calculamos integrales definidas, primero hacemos la primitiva, hacemos la sustitución, volvemos a la variable $x$ y ahi aplicamos Barrow... pero este ejercicio viene por otro lado... entonces si o si tenemos que cambiar los límites de integración también y escribirlos en términos de $u$: Nuestros límites de integración son $x=0$ y $x=2$... Entonces para escribirlos en términos de $u$ usamos que:

$u = x^3$

Entonces, cuando $x$ vale cero, $u = 0^3 \rightarrow u = 0$

y cuando $x = 2$, te queda  $u = 2^3$ o sea, $u = 8$. 

Y ahora si, te queda toda la integral definida en términos de $u$ (límites de integración también) y podés usar que

$\int_{0}^{8} f(u) \, du = 12$

Se entiende mejor?
Avatar Matias 6 de junio 15:27
flor, recien hice este pero puse módulo y acá está con paréntesis. xq va paréntesis y no módulo? me lo tomarían como que está mal si pongo módulo?2024-06-06%2015:26:17_4173844.png
Avatar Flor Profesor 6 de junio 18:35
@Matias Nono, tranqui, si lo dejabas con el módulo seguro no pasaba nada... Le sacaron el módulo porque fijate que $x^2 + 3$ es siempre positivo ($x$ está elevado al cuadrado así que es siempre positivo y le estamos sumando $3$)
Avatar Matias 6 de junio 18:37
claro, gracias
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