¿Qué es un subespacio vectorial?

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⏱️ En el arranque de la clase vamos a ver un pequeña introducción bien conceptual a espacios vectoriales y vamos a entender qué condiciones tiene que cumplir un conjunto dentro de un espacio vectorial para ser considerado un subespacio. 

Después vamos a estar poniendo esto en práctica con algunos ejemplos del Ejercicio 1 de la guía, donde nos presentan diferentes conjuntos y tenemos que definir si son o no subespacios. 

⏱️ Minuto 06:40 -> Ejemplo 1 (plano que pasa por el origen)

⏱️ Minuto 16:07 -> Ejemplo 2 (recta que pasa por el origen)

⏱️ Minuto 22:37 -> Ejemplo 3 (sistemas homogéneos)

⏱️ Minuto 31:40 -> Ejemplo 4 (ahora sí uno que no termina siendo un subespacio)

Acerca del video

Disclaimer antes de terminar: En esta clase traté de explicar de una manera lo más clara posible y con el nivel que vamos a necesitar para dentro de poco encarar los ejercicios, de un tema muy complejo y que podría explicarse de una manera infinítamente más formal que la que yo te muestro acá. 

Algunas aclaraciones extra que no incluí en la clase para no hacerla tan pesada y que no, no vamos a demostrar jaja, pero te lo cuento:

➡️ Además de los vectores y las matrices, hay espacios vectoriales formados por otros elementos, como polinomios o funciones en general 

➡️ Un subespacio también es en sí mismo un espacio vectorial (o sea, cumple todas las condiciones para serlo). Esto lo aclaro más que nada porque, cuando vayas leyendo el apunte teórico oficial de la cátedra, en muchos momentos usan la palabra espacio vectorial para referirse también a subespacios, bueno, tranqui que es por esto. 
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Avatar Lucas 12 de septiembre 22:01
Hola Flor. Muy buen video. No sé si se mandó recién mal una pregunta, porque apreté enter para que baje.

Estas afirmaciones son correctas?

1. Todos los espacios vectoriales pasan por el origen
2. Todos los espacios vectoriales son sistemas homogéneos
Avatar Flor Profesor 14 de septiembre 10:23
@Lucas Hola Lucas! A ver, vamos una por una: 

1) Lo que nosotros sabemos es que todos los espacios vectoriales y en particular los subespacios si o si incluyen al vector cero. Si pensamos en planos y rectas suena natural decir que "pasan por el origen", probablemente con otros subespacios te resulte más fácil pensar que "incluye al vector cero" más que "pasar por el origen", porque el vector cero de un cierto subespacio podría ser por ejemplo este: $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

2) Si vos tenés un sistema homogéneo, el conjunto de soluciones de ese sistema va a formar un espacio vectorial (que en particular también cumple las condiciones para ser subespacio), asi que ese conjunto de soluciones te van a estar formando un subespacio 
Avatar Damian 30 de agosto 15:11
hola flor, en el 4to ejemplo, no podemos decir que para que W sea un subespacio entonces landa debería ser positivo? o la pregunta se hace tomando a landa como cualquier numero real?
Avatar Flor Profesor 1 de septiembre 14:04
@Damian Hola Damian! Nono, para que sea un subespacio eso se tiene que cumplir para cualquier lambda, o sea, cualquier múltiplo de $(V_1,V_2)$ tiene que cumplir la condición (no pueden ser algunos), así que por eso ya no es un subespacio (igual tranqui con este ejercicio que es bastante más teórico que el resto)
Avatar Ignacio 24 de septiembre 11:04
flor, en el minuto 25:10 vos restas la identidad de 2x2 a partir de x pero en el ejercicio x no seria una matriz de 2x1 ??

Avatar Flor Profesor 24 de septiembre 15:41
@Ignacio Claro, $X$ es una matriz de $2 \times 1$, y acordate que multiplicar por la identidad es "como multiplicar por 1 cuando trabajamos con números", o sea, multiplicar por la identidad me tendría que devolver la misma matriz. 

En este caso para que vos la puedas multiplicar por una matriz de $2 \times 1$ y obtengas nuevamente una matriz de $2 \times 1$, esa identidad tiene que ser la de $2 \times 2$ (acordate de la clase de producto de matrices, cuando pensábamos que números tenían que coincidir para poder hacer el producto y qué matriz ibamos a obtener, viendo las dimensiones de cada una que multiplicábamos) 

Por eso planteamos que la matriz $X$ está multiplicada por la identidad para darnos cuenta que, cuando sacamos "factor común" $X$, entonces me queda esa resta de matrices

Queda un poco más claro o se hizo medio ensalada?
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