Series alternadas. Criterio de Leibniz.

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➡️ En esta clase vamos a estudiar series alternadas y te voy a contar el algoritmo que a mí me sirvió armarme para pararme frente a una serie alternada y darme cuenta si converge o no. 

🚨 Antes de pasar a series de potencias, es clave que primero hayas visto esta clase y no te la saltees, porque cuando estemos trabajando con series de potencias también vamos a tener que usar todo esto!

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Avatar Valentina 30 de junio 20:25
Hola Flor, como estás? hoy justo el profe dijo que no es recomendable derivar una serie (si tengo que hacer por criterio de Leibniz) y explicó con una serie < 1 y justo no entendi, bos que me recomendas? soy de la cátedra Palacios Puebla. 
Avatar Flor Profesor 1 de julio 11:34
@Valentina Hola Valen! Fijate que justo abajo recién le respondí a Florencia, que me preguntó algo parecido... Si vos no vas a usar la derivada para probar que una sucesión es decreciente, lo que tenés que probar es que

$a_n > a_{n+1}$

(O sea, que el siguiente término de la sucesión es siempre más chiquito que el anterior, por eso es decreciente) 

Fijate que en el ejemplo de este ejercicio, donde $a_n = \frac{1}{n}$, la desigualdad nos quedaría

$\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$

Si vos acá despejas, para que resulte aún más "obvio" que esta desigualdad se cumple para todo $n$ mayor o igual a 1 en este caso, te quedaría

$\frac{n+1}{n} > 1$

Fijate que como el numerador siempre es mayor que el denominador, eso siempre te va a dar > 1, y así queda probado también que es decreciente, no sé si capaz esto fue lo que hizo tu profe para demostrar algo parecido? 
Avatar Florencia 30 de junio 13:51
Hola flor, no me quedo claro en el min 8 decís que la derivada siempre es negativa, yo derive por segunda vez y me dió positiva. Le pregunté a mi profe sobre eso y me dijo que también estaba compararla con An+1 (no le entendí) y me dijo que si ponía como función no lo hiciera en los reales. Me confundí más, como se razona??? 
Avatar Flor Profesor 1 de julio 11:29
@Florencia Hola Flor! Primero, ojo que nosotras acá estamos viendo la derivada primera, o sea, estamos viendo $-\frac{1}{x^2}$, no tenés que derivarlo una vez más, ya miras esa derivada y te fijas el signo 

Después volvés a hacer el salto a naturales, porque cuando yo lo escribo así como $f(x)$, $f'(x)$, estoy pensando en $x \in \mathbb{R}$, como hacíamos en funciones... y después al final hacemos el salto de decir, bueno ok, pero en realidad nuestra variable es $n$ que es un número natural... Pero si querés escribilo directamente en función de $n$ (no de x) como te decía tu profe y es lo mismo, lo importante es que entiendas que nosotras derivamos y miramos el signo de esa derivada para chequear que sea siempre negativa 

El otro camino que te decía tu profe es probar que, como $a_n$ es decreciente (o sea, el siguiente término es siempre más chiquito que el anterior), entonces tiene que valer que

$\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$

a partir de un cierto $n$ natural. Y esto efectivamente se cumple, para todo $n$ mayor o igual a $1$ (en este caso es más fácil verlo, capaz en otro puede ser más difícil, por eso para mí usar la derivada puede confundir menos) 
Avatar Flor Profesor 1 de julio 11:35
@Florencia Flor, agrego también que cuando leas esta respuesta, mirá también lo que le respondí a Valentina arriba, que seguro te suma también ver esa respuesta! 
Avatar lautydamian 17 de junio 21:08
Buenas Flor, una consultita, ¿lo de la derivada sirve siempre o va a haber casos en los cuales no se pueda usar?
Avatar Flor Profesor 18 de junio 08:18
@lautydamian Hola Lauty! Vos decís para probar que $a_n$ es decreciente? Sisi, siempre es una de las herramientas que vas a poder usar para probarlo! 
Avatar lautydamian 18 de junio 09:44
@Flor Genial, muchas gracias!!
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