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ÁLGEBRA 27 (EXACTAS) CBC
CÁTEDRA ÚNICA
Parcial A
Ejercicio 1:

Sean L:X=λ(2,0,1)+(0,2,5)L: X = \lambda (2,0,1) + (0,2,5), Π1:x+3y+2z=8\Pi_1: x + 3y + 2z = 8, Π2:−3x−y+3z=4\Pi_2: -3x -y +3z = 4. Hallar dos rectas, L1L_1 y L2L_2, que cumplan simultáneamente:


∙ L1⊂Π1 \bullet \, L_1 \subset \Pi_1 y L2⊂Π2L_2 \subset \Pi_2

∙ L1∣∣L2 \bullet \, L_1 || L_2

∙ L1∩L≠∅ \bullet \, L_1 \cap L \neq \emptyset y L2∩L≠∅L_2 \cap L \neq \emptyset

Ejercicio 2:

Sea A=(0−1k−23−3kk−200)A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & k-2 \\ 3 & -3 & k \\ k-2 & 0 & 0 \end{array} \right).


Hallar k∈Rk \in \mathbb{R} tal que los sistemas Ax=0Ax = 0 y Ax=−xAx = -x tengan, cada uno, infinitas soluciones. Para el valor de kk hallado, resolver el sistema Ax=0Ax = 0. 

Ejercicio 3:

Sean S=⟨(1,−3,1,1),(0,0,1,0)⟩S = \langle (1,-3,1,1),(0,0,1,0) \rangle y T={x∈R4 ∣ x1+x2+x3=0;x2+2x3−x4=0}T = \{ x \in \mathbb{R}^4 \, | \, x_1 + x_2 + x_3 = 0; x_2 + 2x_3 - x_4 = 0 \} subespacios de R4\mathbb{R}^4. Hallar, si es posible, un subespacio WW de R4\mathbb{R}^4 tal que:


dim(W)=2\text{dim}(W) = 2, (S+T)⊥⊂W(S+T)^{\perp} \subset W, dim(W+S)=dim(W+T)=3\text{dim}(W+S) = \text{dim} (W+T) = 3

Ejercicio 4:

Sean S={x∈R3 ∣ x1+x2+2x3=0}S = \{ x \in \mathbb{R}^3 \, | \, x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \} y B={(2,2,−1),(2,5,−2),(−1,−2,2)}B = \{ (2,2,-1), (2,5,-2), (-1,-2,2) \} base de R3\mathbb{R}^3. 


Hallar todos los v ∈S v \in S que tienen las mismas coordenadas en la base BB y en la base canónica.


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