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ÁLGEBRA 27 (EXACTAS) CBC
CÁTEDRA ÚNICA
Parcial A
Ejercicio 1:

Sea $g: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4, g(\textbf{x}) = (x_1 + x_2 - 2x_3 , x_1 + x_2 - 2x_3, x_1 - x_3, x_1 - x_3)$. 


Definir, si es posible, una transformación lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ tal que:

$\text{Nu }f \subset \text{Nu }g$, $\text{Nu }f \cap \text{Im }g \neq \{0\}$ y  $\text{Im }f = \text{Nu }g + \text{Im }g$

Ejercicio 2:

Sean $B = \{ (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \}$ y $B' = \{ (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) \}$ bases de $\mathbb{R}^3$ y $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ la transformación lineal tal que:


$M_{BB'}(f) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & k \\ 0 & k & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right)$

Determinar el valor de $k \in \mathbb{R}$ para el cual $f(2,1,1) \in S = \{ x \in \mathbb{R}^3 / x_1 + x_2 + x_3 = 0 \}$

Ejercicio 3:

Hallar $P \in \mathbb{R}[x]$ de grado mínimo entre todos los polinomios que verifican simultáneamente: 


$\circ$ Todas las soluciones en $\mathbb{C}$ de $z^3 = -8i$ con $Re(z) \geq 0$ son raíces de $P$. 

$\circ$ $P$ tiene alguna raíz doble

$\circ$ $P(2) = 0$ y $P(0) = 80$

Ejercicio 4:

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ la transformación lineal definida por

$f(\textbf{x}) = (-5x_1 -x_2 + x_3 , 8x_1 + x_2 - 4x_3 , -2x_1 - x_2 - 2x_3)$

Hallar, si existe, una base $B$ de $\mathbb{R}^3$ tal que $M_B(f)$ sea diagonal. 


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