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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
Final A (Diciembre 2024 ✨)
Ejercicio 1:

Sea $g$ una función continua tal que $\int_{6}^{8} g(t) \, dt = 8$


Calcular $\int_{3}^{4} g(\frac{24}{x}) \cdot \frac{1}{x^2} \, dx$

Ejercicio 2:

Dada $g(x) = \ln(kx-3)$, el valor de $k$ para que la recta tangente al gráfico de $g$ en el punto de abscisa $x = 2$ tenga pendiente $3$ es:

Ejercicio 3:

Dada $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{\sqrt{x} - 1}{\sin(1-x)} & \text { si } & x > 1 \\ ax^2 - 1 & \text { si } & x \leq 1 \end{array}\right.$


a) Calcular $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

b) Determinar el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que $f$ sea continua en $x=1$

Ejercicio 4:

Calcular la integral $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (2 \sin(x) \cos(x)) \, dx$

Ejercicio 5:

Dada $f(x) = (x^2 - 24) \cdot e^{x+7}$


a) Sobre crecimiento y decrecimiento

$\square$ $f$ crece en $(0,+\infty)$

$\square$ $f$ decrece en $(-6,4)$

$\square$ $f$ crece en $(-\infty,0)$

$\square$ $f$ decrece en $(4,+\infty)$

b) Sobre máximos y mínimos

$\square$ En $x=-6$ se realiza un máximo de $f$

$\square$ En $x=4$ se realiza un máximo de $f$

$\square$ En $x=-6$ se realiza un mínimo de $f$

$\square$ En $x=0$ se realiza un mínimo de $f$

c) La imagen de $f$ es

$\square$ $[f(4), +\infty)$

$\square$ $[f(4), f(-6)]$

$\square$ $(0,+\infty)$

$\square$ $[4,+\infty)$

d) Todos los valores de $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $f(x) = k$ tiene una solución son

$\square$ $k \in (f(4), 0]$

$\square$ $k = f(-6)$

$\square$ $k \in (f(4), f(-6))$

$\square$ $k \in (f(-6), +\infty)$

Ejercicio 6:

Dada la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^a + 1}$


$\square$ Si $0 \leq a < 1$ converge

$\square$ Si $a = 1$ converge

$\square$ Si $a > 2$ converge

$\square$ Si $a > 4$ diverge


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