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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
Parcial A (2°C 2024 ✨)
Ejercicio 1:

Sea $f$ una función con derivada continua que satisface $f(5) = 2$ y $\int_{0}^{5} t \cdot f(t) \, dt = 15$. 


Se quiere determinar el valor de $A = \int_{0}^{125} f'(x^{\frac{1}{3}}) \, dx$ 

a) Escribir la integral $A$ en función de la variable $y = x^{\frac{1}{3}}$ (cambio de variable)

b) Calcular $A = \int_{0}^{125} f'(x^{\frac{1}{3}}) \, dx$ 

Ejercicio 2:

Sea la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n^3} (x-3)^n$


a) Determinar el radio de convergencia de la serie

b) Determinar todos los $x \in \mathbb{R}$ para los cuales la serie es convergente

$\square$ $[\frac{11}{4}, \frac{13}{4}]$

$\square$ $(\frac{11}{4}, \frac{13}{4})$

$\square$ $[\frac{11}{4}, \frac{13}{4})$

$\square$ $(\frac{11}{4}, \frac{13}{4}]$

Ejercicio 3:

Hallar $a \in \mathbb{R}_{>0}$ para que el área encerrada entre el eje $x$, el gráfico de la función $f(x) = a \cdot \sqrt{x}$ y la recta $x = 1$ sea igual a $10$

Ejercicio 4:

La integral $\int (\sec(2x) \tan(2x)) \, dx$ es igual a:


$\square$ $\frac{1}{2} \csc (2x) + C$

$\square$ $\frac{1}{2} \sec (2x) + C$

$\square$ $\frac{1}{2} \cot (2x) + C$

$\square$ $\frac{1}{2} \tan (2x) + C$

Ejercicio 5:

Sea la función $f(x) = 3 \ln (g(x)) + 4x^2$. Si $P(x) = 1 + 9(x+1) + 40(x+1)^2$ es el polinomio de Taylor de orden $2$ de la función $g(x)$ en $x_0 = -1$


a) Calcular $f'(x)$ (dar la respuesta en función de $g$)

b) Calcular $f'(-1)$

Ejercicio 6:

La integral definida que calcula el área encerrada por el gráfico de la función $f(x) = 4 \ln (\frac{x}{7}) -1$, el eje $x$ y la recta $x=7e$ es:


$\square$ $\int_{3}^{7e} (4 \ln (\frac{x}{7}) -1) \, dx$

$\square$ $\int_{0}^{7e} (4 \ln (\frac{x}{7}) -1) \, dx$

$\square$ $\int_{7e^{\frac{1}{4}}}^{7e} (4 \ln (\frac{x}{7}) -1) \, dx$

$\square$ $\int_{0}^{7e^{\frac{1}{4}}} (4 \ln (\frac{x}{7}) -1) \, dx + \int_{7e^{\frac{1}{4}}}^{7e} (4 \ln (\frac{x}{7}) -1) \, dx$


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