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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

EJERCICIO 1

Calcule los siguientes límites

a) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{4}-10 x+1\right)$
b) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}}{x^{2}+1}$
c) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+3 x+1}{2 x^{4}+2 x^{2}+1}$
d) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-x}{x+5}$
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{3}+1}-x}{x+5}$
f) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\operatorname{sen} x}{x-\cos x}$
g) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{9 x^{2}+6}}{5 x-1}$
h) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5-\sqrt{x}}{1+4 \sqrt{x}}$
i) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)$
j) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-6 x-40}-x\right)$
k) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\operatorname{sen} x}{x}$
l) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{|x|+1}$
m) $\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-4 x}$
n) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{1}{x}\right)$
EJERCICIO 2

Calcule, si es posible, los límites cuando $x\rightarrow+\infty$ y cuando $x\rightarrow-\infty$ de las siguientes funciones:

a) $f(x)=-3 x^{5}+x^{2}-1$
b) $f(x)=\sqrt{9+x^{2}}$
c) $f(x)=\sqrt{1-x}$
d) $f(x)=\frac{x^{2}+3}{2 x-1}$
e) $f(x)=\frac{x^{3}-5 x^{2}}{x+3}$
f) $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x+3}-x$
g) $f(x)=\frac{e^{x+1}+4}{3-2 e^{x}}$
h) $f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}$
i) $f(x)=e^{1 / x}$
j) $f(x)=\frac{x}{|x|+1}$
EJERCICIO 3

Calcule, si se puede, los límites en el infinito, además de los límites en los puntos que se indican

a) $f(x)=\frac{1}{x^{3}}, x=0^{+}, x=0^{-}$
b) $f(x)=\frac{2 x+1}{x+3}, x=-3^{+}, x=-3^{-}$
c) $f(x)=\frac{5 x^{2}}{x+3}, x=-3^{+}, x=-3^{-}$
d) $f(x)=\frac{x+3}{x^{2}+1}, x=-1^{+}$
e) $f(x)=e^{1 / x}, x=0^{+}, x=0^{-}$
f) $f(x)=e^{\frac{x-1}{x}}, x=0^{+}, x=0^{-}$
g) $f(x)=\frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1}, x=1, x=-1^{+}, x=-1^{-}$
h) $f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^{2}}}, x=1^{-}, x=-1^{+}$
EJERCICIO 4

Calcular los siguientes límites

a) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{4}-2}{x^{3}}$
b) $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}$
c) $\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{x^{2}-2 x-3}{4 x-12}\right)^{\frac{2}{x-3}}$
d) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}$
e) $\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}-1}{x-2}-\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2 x}\right)$
g) $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{\sqrt{2 x+6}-4}$
h) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(\ln x)^{2}}{x}$
i) $\lim _{x \rightarrow 0} x \cos \left(\frac{1}{x}\right)$
j) $\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$
k) $\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen} x\left(2+\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$
EJERCICIO 5

Calcule los siguientes límites

a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x}$
b) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4 x}{\operatorname{sen} 2 x}$
c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(5 x)}{\operatorname{sen} 3 x}$
d) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x+6)}{x+2}$
e) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 x)}{x}$
f) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (5 x)}{x^{2}}$
g) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{1-\cos x}$
h) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x+4 \operatorname{sen}(2 x)}{x^{2}+5 \operatorname{sen} x}$
EJERCICIO 6

Calcule los siguientes límites

a) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{x^{2}+1}{x+1}}$
b) $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{3 x+1}{3 x+4}\right)^{\frac{2 x^{2}+1}{x-3}}$
c) $\lim _{t \rightarrow 0}(1+3 t)^{1 / t}$
d) $\lim _{x \rightarrow 0}(1+\operatorname{sen} x)^{1 / x}$
e) $\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(\frac{3 x+2}{5 x-2}\right)^{\frac{1}{x-2}}$
f) $\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\left(\frac{3 x+2}{5 x-2}\right)^{\frac{1}{x-2}}$
g) $\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\left(1+\frac{3}{x+1}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x+1}}$
h) $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (h+2)-\ln 2}{h}$
i) $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\ln (1+y)}{y}$
j) $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}$
EJERCICIO 7

Sea $f(x)$ una función tal que $\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{x} \lt f(x)<\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}+\frac{19}{4}$. Calcular $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\operatorname{sen} x}{x}$.

EJERCICIO 8

Determine en cada caso el valor de la constante $a$

a) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{a x^{2}+4 x+1}-1}{x}=5$
b) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}-\sqrt{x^{3}+a x-1}}{x-1}=-2$
EJERCICIO 9

Halle los límites en $+\infty$ y en $-\infty$ de las siguientes funciones. Además calcule, si existe, el límite en los puntos indicados

a) $f(x)=\frac{10 e^{2 x}}{5 e^{2 x}+3 x^{2}}$
b) $g(x)=\frac{4 e^{-x^{2}}}{x^{2}-16}$, $x=4$, $x=-4$
EJERCICIO 10

Marque la única respuesta correcta

a) El $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}+x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$
$\square$ no existe $\square$ es igual a $1 \quad \square$ es igual a $0 \quad \square$ es infinito
b) El $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+a x+1}-1}{x}=2$ para
$\square$ ningún valor de $a \quad \square a=4 \quad \square \quad a=0 \quad \square$ todo $a$
EJERCICIO 11

Calcule los siguientes límites

a) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{\operatorname{sen}(3 x \pi)}$
b) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{x-1}$
c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+5 x)}{e^{x}-1}$

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