Guía resuelta de Análisis Matemático 66 CBC Cátedra Gutierrez (Única)

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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

EJERCICIO 1

Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones

a) $f(x)=x^{7}+7 x^{5}+4 x$

b) $f(x)=2-x^{\frac{1}{3}}$

c) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$

d) $f(x)=e^{(x-1)^{2}}$

e) $f(x)=x e^{x}$

EJERCICIO 2

Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas

a) $f(x)=\frac{x^{2}+3 x+1}{x-1}$

b) $f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{(x-1)(x+1)}$

c) $f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}$

d) $f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+4}{x^{2}}$

e) $f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}$

EJERCICIO 3

Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones

a) $f(x)=x^{2} e^{-x}$

b) $f(x)=\operatorname{sen} x$ en $[-\pi, \pi]$

c) $f(x)=x \ln x$

d) $f(x)=\frac{1-x}{2 x+3}$

e) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

f) $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$

g) $f(x)=x \ln ^{2} x$

h) $f(x)=2 x^{4}-4 x^{2}$

i) $f(x)=e^{2 x^{4}-4 x^{2}}$

EJERCICIO 4

Determine $k \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)=\frac{x+k}{x^{2}+1}$ alcance un extremo local en $x=2$. ¿Es un máximo o un mínimo local?

EJERCICIO 5

a) $f(x)=x+e^{x} \operatorname{sen} x$

b) $f(x)=x e^{\frac{1}{x}}$

c) $f(x)=x \ln \left(e-\frac{1}{x}\right)$

d) $f(x)=2 x+\sqrt{1+x^{2}}$

e) $f(x)=\frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1}$

EJERCICIO 6

Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones

a) $f(x)=x^{4}+3 x^{3}+x^{2}-1$

b) $f(x)=e^{-x^{2}}$

c) $f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}-x^{3}}$

d) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$

e) $f(x)=x e^{-x}$

f) $f(x)=x^{2} \ln x$

EJERCICIO 7

Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función

a) $f(x)=x^{4}-2 x^{2}$

b) $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$

c) $f(x)=e^{-x^{2}}$

d) $f(x)=x \cdot e^{-x}$

e) $f(x)=x \ln(x)$

f) $f(x)=x \ln ^{2} x$

g) $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$

h) $f(x)=x^{2} e^{-x}$

i) $f(x)=\frac{x^{2}+100}{x^{2}-25}$

j) $f(x)=x \sqrt{4-x}$

k) $f(x) = x^2 (2 - x)^2$

l) $f(x)=x^{\frac{2}{3}}(1-x)$