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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

EJERCICIO 1

Halle, en cada caso, la función área bajo la curva entre 0 y $x$. Compruebe que $A^{\prime}(x)=f(x)$.

a) 2024-05-17%2009:00:01_9936672.png
b) 2024-05-17%2008:59:44_3239359.png
c) 2024-05-17%2009:00:21_4538502.png
EJERCICIO 2

Se sabe que las funciones $f$ y $g$ son integrables y que

a) $\int_{-3}^{4}(3 f(x)-4 g(x)) d x=23, \, \, \int_{-3}^{4} g(x) d x=7$. Calcule $\int_{-3}^{4} f(x) d x$
b) $\int_{1}^{2} 2 f(x) d x=5, \int_{1}^{2} g(x) d x=7$. Calcule $\int_{1}^{2}(f(x)+2 g(x)) d x$
EJERCICIO 3

Calcule las derivadas de las siguientes funciones

a) $A(x)=\int_{1}^{x} e^{-t^{2}} d t$
b) $B(x)=\int_{0}^{2 x} \frac{\sin u}{1+u} d u$
c) $C(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \sqrt{1+t^{2}} d t$
d) $D(x)=\int_{0}^{\sin(x)} \frac{y}{2+y^{3}} d y$
e) $E(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \cos (t^{2}) d t$
EJERCICIO 4

Sabiendo que

a) la función continua $f$ satisface $\int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}(1+x)$, calcule $f(2)$.
b) la función continua $g$ satisface $\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2}(1+x), x>0$, calcule $g(2)$.
EJERCICIO 5

Calcule las siguientes integrales usando la Regla de Barrow y las propiedades de linealidad de la integral.

a) $\int_{0}^{3} 3(x-2) d x$
b) $\int_{-2}^{2}(x^{3}+2 x) d x$
c) $\int_{\pi}^{5 \pi}(\sin x-\cos x) d x$
d) $\int_{0}^{64}(2 \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) d x$
EJERCICIO 6

Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, compruebe las siguientes igualdades y calcule, en cada una de ellas, el valor de $K$.

a) $\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{3 t+5}}=\frac{2}{3} \sqrt{3 x+5}+K$
b) $\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{2 \sin t+3} d t=\frac{1}{2} \ln (|3+2 \sin x|)+K$
EJERCICIO 7

Halle en cada caso, una función $f(x)$ que satisfaga

a) $f'(x)=2$
b) $f'(x)=x$
c) $f'(x)=\sin(x)$
d) $f'(x)=\cos(x)$
e) $f'(x)=e^{x}$
f) $f'(x)=x^{5}$
g) $f'(x)=x+x^{3}$
h) $f'(x)=3x+\frac{4}{x}$
EJERCICIO 8

Encuentre en cada caso, una función $G(x)$ que satisface

a) $G'(x)=6x+1, G(1)=3$
b) $G''(x)=6x, G'(1)=3, G(0)=1$
c) $G'''(x)=x+\sin(x), G''(0)=G'(0)=G(0)=5$

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