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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
1.9.
Considerar el conjunto $A=\left\{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right\}$.
b) Exhibir un elemento $a \in A$ que satisfaga $0,9 \lt a\lt 1$.
b) Exhibir un elemento $a \in A$ que satisfaga $0,9 \lt a\lt 1$.
Respuesta
A ver, acomodemos los tantos. Queremos encontrar un elemento \(a \in A\) que cumpla que \(0.9 < a < 1\). Observemos cómo se comporta la fracción \(\frac{n}{n+1}\) para distintos valores de \(n\), para ver que elementos del conjunto $A$ vamos obteniendo...
- Para \(n = 1\), tenemos \(\frac{1}{2} = 0.5\).
- Para \(n = 5\), tenemos \(\frac{5}{6} \approx 0.833\).
- Para \(n = 10\), tenemos \(\frac{10}{11} \approx 0.909\).
- Para \(n = 100\), tenemos \(\frac{100}{101} \approx 0.990\).
- Para \(n = 1000\), tenemos \(\frac{1000}{1001} \approx 0.999\).
A medida que \(n\) crece, la fracción \(\frac{n}{n+1}\) se acerca cada vez más a 1. Fijate que para \(n = 10\), ya estamos en el rango \(0.9 < \frac{10}{11} < 1\), wiiii =)
Entonces, atenti con esto: Al aumentar \(n\), obtendremos más elementos de \(A\) que cumplen con la condición \(0.9 < a < 1\). Es decir, para \(n = 10\), \(\frac{10}{11}\) es un ejemplo que cumple con la condición, y si seguimos aumentando \(n\), encontraremos más fracciones que también satisfacen \(0.9 < \frac{n}{n+1} < 1\).