Para demostrar la afirmación "Si $x \in \mathbb{R}$ es irracional, entonces $x+1$ es irracional", vamos a utilizar el contrarrecíproco que nos sugiere el enunciado. El contrarrecíproco de esta afirmación es: "Si $x+1$ es racional, entonces $x$ es racional". Vamos a demostrar el contrarrecíproco: Supongamos que $x+1$ es racional. Esto significa que existe una representación de $x+1$ como una fracción de dos enteros $a/b$, donde $a$ y $b$ son enteros y $b \neq 0$. Es decir: $x + 1 = \frac{a}{b}$ Ahora, vamos a resolver para $x$: $x = \frac{a}{b} - 1$ $x = \frac{a}{b} - \frac{b}{b}$ $x = \frac{a-b}{b}$ En esta expresión, $a-b$ y $b$ también son enteros (ya que la suma y resta de enteros es cerrada bajo enteros) y $b \neq 0$. Por lo tanto, $x$ es la división de dos enteros y es racional. Dado que hemos demostrado el contrarrecíproco, podemos concluir que la afirmación original también es cierta. Por lo tanto, si $x$ es irracional, entonces $x+1$ también debe ser irracional.