$\textbf{Primera afirmación:}$ $x-1$ es irracional. Supongamos, para llegar a un absurdo, que $x-1$ es racional a pesar de que $x$ es irracional. Esto significaría que $x-1$ se puede expresar como una fracción de dos enteros $a/b$, donde $a$ y $b$ son enteros y $b \neq 0$. Entonces... $x - 1 = \frac{a}{b}$ Ahora despejemos $x$: $x = \frac{a}{b} + 1$ $x = \frac{a}{b} + \frac{b}{b}$ $x = \frac{a+b}{b}$ Como $a+b$ y $b$ son enteros (la suma de enteros es un entero), entonces $x$ sería racional, que es una contradicción con la hipótesis de que $x$ es irracional. Por lo tanto, nuestra suposición inicial, es decir, que $x-1$ es racional, debe ser falsa. Así que $x-1$ es irracional.

 $\textbf{Segunda afirmación:}$ $\frac{1}{x}$ es irracional. Supongamos, para llegar a un absurdo, que $\frac{1}{x}$ es racional mientras que $x$ es irracional. Si $\frac{1}{x}$ es racional, entonces existe una representación de $\frac{1}{x}$ como una fracción de dos enteros $c/d$, donde $c$ y $d$ son enteros y $d \neq 0$. Por tanto: $\frac{1}{x} = \frac{c}{d}$ Despejando... $x = \frac{d}{c}$ Acá $d$ y $c$ son enteros y por lo tanto $x$ sería racional. Pero esto entra en contradicción con la hipótesis de que $x$ es irracional. Por consiguiente, nuestra suposición inicial de que $\frac{1}{x}$ es racional debe ser falsa. Y entonces $\frac{1}{x}$ es irracional. En ambas demos utilizamos la reducción al absurdo para probar que si $x$ es irracional, entonces tanto $x-1$ como $\frac{1}{x}$ también son irracionales =)