1. \( \frac{x+2}{x+1} \geq 0 \) 2. \( x+1 \neq 0 \) Analicemos el primero punto. Fijate que tenemos que descubrir cuáles $x$ hacen que \( \frac{x+2}{x+1} \geq 0 \). Cada vez sabemos más, así que cada vez tenemos más herramientas para responder esta pregunta. Tenemos dos opciones para encarar esto: Plantearlo por casos (como hicimos al principio de la Práctica 1), es decir, si tenemos una división que nos está dando mayor a cero, es porque numerador y denominador son positivos, o bien numerador y denominador son negativos. De plantear ambos casos van a salir los $x$ que verifican eso. Otra opción, fijate que lo que tenemos ahí es... una homográfica! Y nos están preguntando los $x$ que nos devuelven valores mayores o iguales a cero... es decir, si graficamos esa homográfica y nos fijamos sus raíces y conjunto de positividad también llegamos a la respuesta, lo ves? Yo creo que lo haría de esta última forma, pero depende mucho de cada uno y con qué te sientas más cómodx. De cualquier forma, deberías llegar a que los $x$ para los cuáles esa expresión es mayor o igual a cero están en el intervalo c

Además, tenemos que pedir que \( x+1 \neq 0 \), es decir, \( x \neq -1 \). Igualmente el $-1$ ya ni siquiera estaba contemplado en el caso anterior, así que el dominio de la función $f$ es \((-\infty, -2] \cup (-1, \infty) \).

Con el dominio definido, ahora calculamos los límites laterales indicados: a. \( \lim_{x \rightarrow -2^-} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} \)

Si en esta expresión sustituimos $x$ por $-2$, fijate que el numerador tiende a $0$ y el denominador tiende a $-1$. Eso hace que lo de adentro de la raíz tienda a $0$, y por lo tanto... Por lo tanto, \( \lim_{x \rightarrow -2^-} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = 0 \).

¿Y en qué momento usamos que era $-2$ por izquierda? Aaahhh, si lo usamos pero no te diste cuenta. Fijate que el dominio de esta función es \((-\infty, -2] \cup (-1, \infty) \). ¿Tiene sentido acercarnos a $-2$ por derecha? Nooo, ahí ni siquiera tenemos función, sólo tiene sentido tomar límite cuando $x$ tiende a $-2$ por izquierda, que es donde tenemos función. 

  b. \( \lim_{x \rightarrow -1^+} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} \) Si sustituimos en la expresión $-1$, fijate que el numerador tiende a $1$ y el denominador tiende a $0$... ¡Eso lo vimos en la clase de Límites a un punto! Siempre que tenemos un número sobre algo que tiende a cero, ese límite nos da infinito. Para ver si es $+$ o $-$ infinito, tenemos que considerar el signo de numerador y denominador. El numerador tiende a $1$, así que obviamente es positivo. Veamos el denominador: $x$ tiende a $-1$ por derecha, es decir, si querés es algo así como un $-0.9999...$. Entonces, te das cuenta que el denominador tiende a $0$ por derecha, es decir, a algo así como $0.000...1$, o sea, positivo! Listo, entonces positivo sobre positivo, nos da positivo, y nuestro límite nos da $+\infty$

Recapitulando: a. \( \lim_{x \rightarrow -2^-} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = 0 \) b. \( \lim_{x \rightarrow -1^+} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = +\infty \)