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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

2.4. Calcular los límites laterales indicados, analizando previamente el dominio de la función.
a) limx2x+2x+1\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} y limx1+x+2x+1\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}

Respuesta

Primero analicemos el dominio de la función x+2x+1 \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} . Fijate que acá tenemos dos restricciones en juego, por un lado tenemos una raíz cuadrada y además tenemos una división. Tenemos que pedir que:
1. x+2x+10 \frac{x+2}{x+1} \geq 0 2. x+10 x+1 \neq 0 Analicemos el primero punto. Fijate que tenemos que descubrir cuáles xx hacen que x+2x+10 \frac{x+2}{x+1} \geq 0 . Cada vez sabemos más, así que cada vez tenemos más herramientas para responder esta pregunta. Tenemos dos opciones para encarar esto: Plantearlo por casos (como hicimos al principio de la Práctica 1), es decir, si tenemos una división que nos está dando mayor a cero, es porque numerador y denominador son positivos, o bien numerador y denominador son negativos. De plantear ambos casos van a salir los xx que verifican eso. Otra opción, fijate que lo que tenemos ahí es... una homográfica! Y nos están preguntando los xx que nos devuelven valores mayores o iguales a cero... es decir, si graficamos esa homográfica y nos fijamos sus raíces y conjunto de positividad también llegamos a la respuesta, lo ves? Yo creo que lo haría de esta última forma, pero depende mucho de cada uno y con qué te sientas más cómodx. De cualquier forma, deberías llegar a que los xx para los cuáles esa expresión es mayor o igual a cero están en el intervalo:

(,2](1,)(-\infty, -2] \cup (-1, \infty)

Además, tenemos que pedir que x+10 x+1 \neq 0 , es decir, x1 x \neq -1 . Igualmente el 1-1 ya ni siquiera estaba contemplado en el caso anterior, así que el dominio de la función ff es (,2](1,)(-\infty, -2] \cup (-1, \infty) .
Con el dominio definido, ahora calculamos los límites laterales indicados: a. limx2x+2x+1 \lim_{x \rightarrow -2^-} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}

Si en esta expresión sustituimos xx por 2-2, fijate que el numerador tiende a 00 y el denominador tiende a 1-1. Eso hace que lo de adentro de la raíz tienda a 00, y por lo tanto... Por lo tanto, limx2x+2x+1=0 \lim_{x \rightarrow -2^-} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = 0 .

¿Y en qué momento usamos que era 2-2 por izquierda? Aaahhh, si lo usamos pero no te diste cuenta. Fijate que el dominio de esta función es (,2](1,)(-\infty, -2] \cup (-1, \infty) . ¿Tiene sentido acercarnos a 2-2 por derecha? Nooo, ahí ni siquiera tenemos función, sólo tiene sentido tomar límite cuando xx tiende a 2-2 por izquierda, que es donde tenemos función. 
  b. limx1+x+2x+1 \lim_{x \rightarrow -1^+} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} Si sustituimos en la expresión 1-1, fijate que el numerador tiende a 11 y el denominador tiende a 00... ¡Eso lo vimos en la clase de Límites a un punto! Siempre que tenemos un número sobre algo que tiende a cero, ese límite nos da infinito. Para ver si es ++ o - infinito, tenemos que considerar el signo de numerador y denominador. El numerador tiende a 11, así que obviamente es positivo. Veamos el denominador: xx tiende a 1-1 por derecha, es decir, si querés es algo así como un 0.9999...-0.9999.... Entonces, te das cuenta que el denominador tiende a 00 por derecha, es decir, a algo así como 0.000...10.000...1, o sea, positivo! Listo, entonces positivo sobre positivo, nos da positivo, y nuestro límite nos da ++\infty
Recapitulando: a. limx2x+2x+1=0 \lim_{x \rightarrow -2^-} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = 0 b. limx1+x+2x+1=+ \lim_{x \rightarrow -1^+} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = +\infty
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ExaComunidad
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Ivan
3 de abril 9:40
ne refiero a cuando te referis al intervalo C

Ivan
3 de abril 9:39
Hola Flor, no entendi a que te referis en esta parte

Flor
PROFE
3 de abril 17:18
@Ivan Jajajaja, algo hice en algún momento que edité ese resuelto porque quedó la frase cortada, por eso no se entendía 😅 O sea, siguiendo cualquiera de los razonamientos que propongo en ese primer párrafo largo, deberías llegar a que los xx para los cuales esa expresión es mayor o igual a cero están en el intervalo... y acá se cortó y debería seguir este intervalo -> (,2](1,)(-\infty, -2] \cup (-1, \infty)

Ahi ya podés seguir :)
0 Responder
angeles
19 de septiembre 20:01
hola profe, se que es una boludez pero me trabe con lo de los casos, lo de que si una division nos da mayor o igual a 0 es porque hay 2 casos, + y + , - y - , mi pregunta es, eso como lo resolvia? se me borro completamente de la mente, muchos parciales jajaja
Flor
PROFE
20 de septiembre 13:00
Hola ángeles! Jajajaja me parece perfecto! Fijate que eso está en la clase que encontrás en:
Números reales y funciones -> Conjuntos -> Conjuntos e inecuaciones / En el minuto 23:10 de esa clase está eso :)
0 Responder
angeles
20 de septiembre 13:59
@Flor gracias profee
2 Responder
Mary
1 de septiembre 12:34
Hola, profe! No me quedó muy claro por qué el dominio de la función sería igual al conjunto de positividad. Me lo podría explicar, por fa? Gracias
Flor
PROFE
1 de septiembre 19:03
@Mary Hola! Porque fijate que nosotros llegamos a la conclusión que los xx que forman parte del dominio son los que hacen que x+2x+10\frac{x+2}{x+1} \geq 0 ¿hasta ahí vamos bien?

Entonces, si vos definis a x+2x+1\frac{x+2}{x+1} como una función 

f(x)=x+2x+1f(x) = \frac{x+2}{x+1}

los xx que forman parte del dominio son los que verifican que f(x)0f(x) \geq 0, no? 

Es decir, traducción, son los xx que si yo los meto en mi función me arrojan un resultado en yy mayor o igual a cero. 

Entonces, fijate que ff es una función que nosotros ya conocemos y sabemos graficar, es una homográfica, entonces podemos graficarla y fijarnos para que valores de xx tenemos un resultado en yy mayor o igual a cero. (es decir, cuáles son las raíces y el conjunto de positividad)

Queda un poco más claro ahora? 
1 Responder
Mary
2 de septiembre 5:25
@Flor Super claro, gracias!!
0 Responder