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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.4.
Calcular los límites laterales indicados, analizando previamente el dominio de la función.
b) $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$ y $\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$
b) $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$ y $\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$
Respuesta
Primero analicemos el dominio de la función \( \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \). Tenemos dos restricciones: una raíz cuadrada y una división. Así que pedimos que...
\( \frac{x-1}{x+2} \geq 0 \)
\( x+2 \neq 0 \)
Analicemos el primer punto. Tenemos que descubrir cuáles valores de \( x \) hacen que \( \frac{x-1}{x+2} \geq 0 \). Como te decía en el punto anterior, podemos graficar la homográfica para hacernos una idea más clara de cuáles son los valores de $x$ que nos devuelven un valor en $y$ mayor o igual a cero. Si lo hacés, como vinimos haciendo en la Práctica 1, deberías llegar a que son los $x$ que pertenece al intervalo \((-\infty, -2] \cup [1, \infty)\).
Además, necesitamos que \( x+2 \neq 0 \), por lo que \( x \neq -2 \), entonces el $-2$ lo excluimos del dominio y nos queda: \((-\infty, -2) \cup [1, +\infty)\).
Reportar problema
Con el dominio definido, ahora calculamos los límites laterales indicados:
1. \( \lim_{x \rightarrow 1^+} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \)
Si sustituimos \( x \) por \( 1 \), notamos que el numerador tiende a \( 0 \) y el denominador tiende a \( 3 \). Eso significa que lo que está adentro de la raíz cuadrada tiende a \( 0 \), y por lo tanto...
Por lo tanto, \( \lim_{x \rightarrow 1^+} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} = 0 \).
2. \( \lim_{x \rightarrow -2^-} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \)
Ahora, si nos acercamos a \( -2 \) por la izquierda, el numerador \( x-1 \) va a tender a $-3$ y el denominador va a tender a $0$. Perfecto, número sobre algo que tiende a cero, eso va a tender a infinito. Nos fijamos ahora los signos del numerador y el denominador: Numerador es negativo; para el denominador tenemos un $-2$ por izquierda, es decir, algo así como $-2.000...1$, cuando hacemos la resta del denominador nos queda algo que tiende a cero por izquierda (algo así como $-0.000....1$). Como numerador y denominador son negativos, entonces el límite nos da $+\infty$.
Recapitulando:
1. \( \lim_{x \rightarrow 1^+} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} = 0 \)
2. \( \lim_{x \rightarrow -2^-} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} = + \infty \)