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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.5.
Dadas las siguientes funciones, identificar su dominio y calcular los límites indicados.
d) $\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{x-1}{x}}$
d) $\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{x-1}{x}}$
Respuesta
Arranquemos definiendo el dominio de la función \( e^{\frac{x-1}{x}} \):
Fijate que tenemos una división ahí en el exponente, necesitamos que ese denominador sea distinto de cero. Por lo tanto, debemos pedir que:
\( x \neq 0 \)
Con esto en mente, el dominio de la función es todo \( \mathbb{R} \) excepto \( x = 0 \).
Ahora, calculemos el límite indicado:
\( \lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{x-1}{x}} \)
Si intentamos sustituir \( x = 0 \), vemos que, en el exponente, el numerador tiende a $-1$ y el denominador tiende a $0$. Es decir, el exponente se va a estar yendo a infinito. Para determinar el signo del infinito, abrimos el límite por derecha y por izquierda:
Reportar problema
Por la derecha (\( x \rightarrow 0^+ \)), \( x \) es positivo, entonces el exponente tiende a \( -\infty \). Por lo tanto, nos queda \( e^{-\infty} \) y... ¿Te acordás cuanto da esto? Tenemos un número mayor que $1$ elevado a algo que tiende a $-\infty$, eso nos daba cero! Entonces:
\( \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{x-1}{x}} = e^{-\infty} = 0 \)
Por la izquierda (\( x \rightarrow 0^- \)), \( x \) es negativo, entonces el exponente tiende a \( +\infty \). Por lo tanto, nos queda \( e^{+\infty} \). En este caso, tenemos un número mayor que $1$ elevado a algo que tiende a $+\infty$, eso nos daba $+\infty$! Entonces:
\( \lim_{x \rightarrow 0^-} e^{\frac{x-1}{x}} = e^{+\infty} = +\infty \)