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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

2.8. Calcular los límites indicados, para xx tendiendo a infinito.
j) limx+7x+1+27x3\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7^{x+1}+2}{7^{x}-3}

Respuesta

Ahora tenemos que calcular este límite de acá: limx+7x+1+27x3 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7^{x+1}+2}{7^{x}-3} Fijate que estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Para eso vamos a seguir la idea de "sacar factor común el que manda", pero nos va a convenir hacer algo antes. En este problema, a diferencia de los anteriores, tenemos la xx en el exponente; entonces, consejo, primero vamos a intentar reescribir algunas expresiones de tal forma que nos quede la xx siempre solita en el exponente. Usando propiedades de potencias: 7x+1=7x71=77x 7^{x+1} = 7^{x} \cdot 7^{1} = 7 \cdot 7^{x} Entonces la expresión original es equivalente a: limx+77x+27x3 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7 \cdot 7^{x} + 2}{7^{x} - 3} Ahora sí, sacamos factor común "el que manda", que en este caso es 7x 7^{x} : limx+7x(7+27x)7x(137x) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7^{x}(7 + \frac{2}{7^{x}})}{7^{x}(1 - \frac{3}{7^{x}})} Se nos simplifican los 7x 7^{x} y nos queda: limx+7+27x137x \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7 + \frac{2}{7^{x}}}{1 - \frac{3}{7^{x}}} Listo! Ahora tomamos límite, fijate que el numerador tiende a 77 y el denominador tiende a 11, por lo tantoooo... limx+7x+1+27x3=7 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7^{x+1}+2}{7^{x}-3} = 7
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