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@Melissa Hola Meli! Eso aparece cuando multiplicas $x \cdot x = x^2$. Los pasos para escribir eso como una única fracción, si necesitas repasarlo, lo tenés en la clase en Ejercicios preliminares -> Repaso de matemática -> Operaciones con fracciones.
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.10. Hallar $a$ y $b>0$ tales que el $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{a x^{4}+b x^{3}}}{x}-x\right)=4$.
Respuesta
Para encarar este problema, básicamente vamos a arrancar calculando este límite sin darle mucha bola a $a$ y a $b$, los vamos a ir arrastrando como si fueran números cualquiera... En la medida que vayamos avanzando, casi al final vamos a tener que pedirle condiciones a $a$ y a $b$ para que el límite efectivamente nos de $4$ como pide el enunciado.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{a x^{4}+b x^{3}}}{x}-x\right)$
En principio fijate que si tomás límite ahora y reemplazas $x$ por $+\infty$ esto es un quilombo, tenés una indeterminación "infinito sobre infinito" y a eso restándole otro infinito. Entonces vamos a acomodar un poco la situación, yo arrancaría este problema escribiendo eso como una única fracción:
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{a x^{4}+b x^{3}} - x^2}{x}\right)
$
Nos quedó en el numerador una indeterminación infinito menos infinito, la podemos intentar salvar multiplicando y dividiendo por el conjugado:
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{a x^{4}+b x^{3}} - x^2}{x}\cdot\frac{\sqrt{a x^{4}+b x^{3}} + x^2}{\sqrt{a x^{4}+b x^{3}} + x^2}\right)
$
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{(a x^{4}+b x^{3}) - x^4}{x(\sqrt{a x^{4}+b x^{3}} + x^2)}\right)
$
En el numerador podemos sacar factor común $x^4$, así queda más claro qué "número" multiplica a esa potencia de $x$
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{b x^{3} + (a-1) x^{4}}{x(\sqrt{a x^{4}+b x^{3}} + x^2)}\right)
$
Ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito" ¿Qué hacemos? Sacamos factor común "el que manda". ¿Por dónde arrancamos? Por adentro de la raíz.
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{b x^{3} + (a-1) x^{4}}{x(\sqrt{x^4 (a+\frac{b}{x})} + x^2)}\right)
$
Distribuimos la raiz cuadrada, usá que $\sqrt{x^4}= x^2$ (cuando $x$ es positivo, como en este caso, si no te quedaría módulo ojo!). Después hace la distributiva en el denominador, te va a quedar:
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{b x^{3} + (a-1) x^{4}}{x^3\sqrt{a+\frac{b}{x}} + x^3}\right)
$
Ahora, mirá atentamente esta expresión y pensemos bien. Tenemos una indeterminación de tipo infinito sobre infinito. Hay un polinomio sobre otro polinomio. El polinomio de arriba es de grado 4 y el de abajo es de grado 3 ¿Eso a donde va a tender? A infinito... STOP, pará acá. Nosotros queremos que este límite nos de $4$, no infinito! Te das cuenta que para que este límite nos de un número, los dos polinomios deberían ser de igual grado? Y para que los dos tengan el mismo grado, en este caso grado 3, el número que multiplica a $x^4$ arriba debería ser cero! Es decir, tenemos que pedir que $a -1 = 0$, o lo que es lo mismo, $a = 1$.
Entonces, si \(a = 1\) nos quedaría...
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{b x^{3} + (1-1) x^{4}}{x^3\sqrt{1+\frac{b}{x}} + x^3}\right)
$
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{b x^{3}}{x^3\sqrt{1+\frac{b}{x}} + x^3}\right)
$
Ahora sacamos factor común \(x^3\) en el denominador:
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{b x^{3}}{x^3(\sqrt{1+\frac{b}{x}} + 1)}\right)
$
Cancelamos las \(x^3\):
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{b}{\sqrt{1+\frac{b}{x}} + 1}\right)
$
Tomamos límite, fijate que \(\frac{b}{x}\) tiende a cero sin importar el valor de $b$ (es un número sobre algo que tiende a infinito, eso siempre da cero). Entonces este límite nos daaa...
$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{b}{\sqrt{1+\frac{b}{x}} + 1}\right) = \frac{b}{2}
$
Y ahora pedimos que el resultado del límite sea igual a \(4\):
$
\frac{b}{2} = 4
$
$
b = 8
$
Y con esto terminamos! Ya sabemos que el límite que nos dieron es igual a 4 si \(a = 1\) y \(b = 8\).
ExaComunidad
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Melissa
13 de mayo 11:22
Hola, una pregunta, porque al ponerlo como una única fracción, el -x pasa a-x² en el numerador?
Flor
PROFE
13 de mayo 12:36
Avisame porfa si ahora queda claro o sino lo seguimos charlando!
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