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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

3.8. Estudiar continuidad y derivabilidad en x0x_{0} de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
a) f(x)=x;x0=0f(x)=|x| ; x_{0}=0

Respuesta

Aclaración por las dudas: Antes de encarar estos ejercicios, es muy muy importante que hayas visto antes la clase de Derivabilidad en funciones partidas! Vamos a usar todo lo que vimos en esa clase y resolver ejercicios de la misma onda.

Para estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x)=x f(x) = |x| en x0=0 x_0 = 0 , comencemos escribiéndola como una función partida: f(x)={xsi x<0xsi x0 f(x) = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} Arrancamos estudiando continuidad\textbf{continuidad} en x0=0 x_0 = 0 :

Lo primero que quiero que te des cuenta es que, si esta función puede llegar a tener problemas de continuidad en algún punto, justamente va a ser en x=0x=0, que es donde la función se parte. Verificamos las tres condiciones necesarias para que f(x) f(x) sea continua en x=0 x = 0 : a) f(0)=0 f(0) = 0 b) Calculamos el límite de f(x) f(x) cuando x x tiende a cero. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda: limx0(x)=0=0 \lim_{{x \to 0^-}} (-x) = -0 = 0 limx0+(x)=0 \lim_{{x \to 0^+}} (x) = 0 Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale 00. c) El límite cuando xx tiende a cero existe y vale lo mismo que f(0)f(0), por lo tanto, ff es continua en x=0x=0
Estudiamos ahora derivabilidad\textbf{derivabilidad} en x0=0 x_0 = 0 : En este caso, tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener f(0)f'(0), ya que queremos calcular la derivada justo en el xx donde la función se parte. f(0)=limh0f(0+h)f(0)h f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}

En este caso, fijate que según si hh tienda a cero por derecha o por izquierda, lo de adentro de ff va a tender a algo menor a cero o mayor a cero, y por lo tanto la expresión a usar es distinta. Necesariamente tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda: 

Para el límite por izquierda cuando h0 h \to 0^- : f(0)=limh0f(0+h)f(0)h=limh0h0h=1 f'(0) = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{-h - 0}{h} = -1 Para el límite por derecha cuando h0+ h \to 0^+ : f(0)=limh0+f(0+h)f(0)h=limh0+h0h=1 f'(0) = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h - 0}{h} = 1 Los límites por derecha y por izquierda no coinciden, por lo tanto, f(0)=limh0f(0+h)f(0)h=No existe f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \text{No existe}  

Esto significa que la función no es derivable en x=0 x = 0 .
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Mamani
6 de abril 16:59
Hola! Perdón, estoy un poco confundida, ¿por qué h-0/h es igual a 1?
Flor
PROFE
6 de abril 17:25
@Mamani Hola Sole de nuevo jaja 🤚 Te agrego un paso extra en ese límite a ver si ahí queda más claro

limh0+h0h= limh0+hh=1 \lim_{h \to 0^+} \frac{h-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 

O sea, te queda 11 ahí cuando simplificas. Y por la misma razón, cuando tomás por izquierda, al simplificar, te queda 1-1. Se ve mejor ahí?
0 Responder
Mamani
6 de abril 18:29
Es una materia complicada para mí, jaja por eso tantas dudas jaja 
Sí, ahora lo entiendo mejor, yo estaba reemplazando h por 0, pero ahora veo que estaba mal. Gracias! 
0 Responder