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Para estudiar la continuidad y derivabilidad de la función en , comencemos escribiéndola como una función partida:
Arrancamos estudiando en :
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@Mamani Hola Sole de nuevo jaja 🤚 Te agrego un paso extra en ese límite a ver si ahí queda más claro
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Es una materia complicada para mí, jaja por eso tantas dudas jaja
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.8.
Estudiar continuidad y derivabilidad en de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
a)
a)
Respuesta
Aclaración por las dudas: Antes de encarar estos ejercicios, es muy muy importante que hayas visto antes la clase de Derivabilidad en funciones partidas! Vamos a usar todo lo que vimos en esa clase y resolver ejercicios de la misma onda.
Lo primero que quiero que te des cuenta es que, si esta función puede llegar a tener problemas de continuidad en algún punto, justamente va a ser en , que es donde la función se parte.
Verificamos las tres condiciones necesarias para que sea continua en :
a)
b) Calculamos el límite de cuando tiende a cero. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale .
c) El límite cuando tiende a cero existe y vale lo mismo que , por lo tanto, es continua en
Estudiamos ahora en :
En este caso, tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener , ya que queremos calcular la derivada justo en el donde la función se parte.
En este caso, fijate que según si tienda a cero por derecha o por izquierda, lo de adentro de va a tender a algo menor a cero o mayor a cero, y por lo tanto la expresión a usar es distinta. Necesariamente tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando :
Para el límite por derecha cuando :
Los límites por derecha y por izquierda no coinciden, por lo tanto,
Esto significa que la función no es derivable en .
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Mamani
6 de abril 16:59
Hola! Perdón, estoy un poco confundida, ¿por qué h-0/h es igual a 1?

Flor
PROFE
6 de abril 17:25
O sea, te queda ahí cuando simplificas. Y por la misma razón, cuando tomás por izquierda, al simplificar, te queda . Se ve mejor ahí?

Mamani
6 de abril 18:29
Sí, ahora lo entiendo mejor, yo estaba reemplazando h por 0, pero ahora veo que estaba mal. Gracias!