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@Matias Mati, buenísima tu pregunta y es una duda muy común. Fijate que nosotros estamos evaluando $f$ en $1 + h$.
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ahhh,claro sisi entendí
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.8.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2 x+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ x^{2}+2 & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.$
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2 x+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ x^{2}+2 & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 1 \):
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Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 1 \):
a) \( f(1) = 3 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $1$. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
\( \lim_{{x \to 1^-}} (2x + 1) = 3 \)
\( \lim_{{x \to 1^+}} (x^2 + 2) = 3 \)
Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale $3$.
c) El límite cuando $x$ tiende a $1$ existe y vale lo mismo que $f(1)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=1$
Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 1 \):
Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(1)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte.
\( f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \)
Nuevamente, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \):
\( \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{2(1 + h) + 1 - 3}{h} = \frac{2h}{h} = 2 \)
Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):
\( \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{(1 + h)^2 + 2 - (1^2 + 2)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{1 + 2h + h^2 + 2 - 1 - 2}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} (2 + h) = 2 \)
Los límites por derecha y por izquierda coinciden y valen $2$, por lo tanto,
\( f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = 2 \)
Esto significa que $f$ es derivable en $x=1$ y $f'(1) = 2$
ExaComunidad
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Matias
6 de abril 23:55
flor, xq a la hora de ver la derivabilidad no usas solo la primer expresion? si 0 es menor o igual que uno, o vos estas tomando el Xo a la hora de elegir?
Flor
PROFE
7 de abril 9:22
Imaginate que $h$ tiende a cero por derecha (algo como un 0.0000...1) , entonces adentro de $f$ nos quedaría algo así como: 1 + 0.00000...1, es decir, un número un poco más grande que $1$, por eso si $h$ tiende a cero por derecha, tenemos que usar la expresión que vale para los $x$ mayores a 1.
En cambio, si $h$ tiende a cero por izquierda (algo como un -0.0000...1) , adentro de $f$ tendríamos algo como esto: 1 - 0.0000...1, es decir, ahora un número un poquito más chico que 1, por eso si $h$ tiende a cero por izquierda, usamos la expresión que vale ahora para los $x$ menores a 1.
Avisame porfa si no termina de cerrar y lo seguimos viendo, porque esto es re importante que quede claro!
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Matias
10 de abril 14:46
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