Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 1 \): a) \( f(1) = 2 \) b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $1$. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

\( \lim_{{x \to 1^-}} x^3 + 1 =  2 \)

\( \lim_{{x \to 1^+}} 2x = 2 \)

Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale $2$. c) El límite cuando $x$ tiende a $1$ existe y vale lo mismo que $f(1)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=1$

\( \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{(1 + h)^3 + 1 - 2}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{(1 + h)^3 - 1}{h} \)

Acá hago un stop, la formula para expandir \( (1 + h)^3 \) nadie debería por qué acordársela... (la del cubo eh, cuando está elevado al cuadrado esa si!) Esta indeterminación "cero sobre cero" sale en dos segundos usando L'Hopital. Podés expandir ese cubo y sale (ni te quiero dejar la fórmula para no confundirte, porque primero que yo si la necesito usar la googleo, no es para recordar, y segundo que este límite en todas las galaxias uno lo resolvería usando L'Hopital y es una papa) Por ahora creanme que aplicando L'Hopital te queda:

$ \lim_{{h \to 0^-}} \frac{(1 + h)^3 - 1}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{3(1 + h)^2}{1} = 3$

Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):

\( \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{2(1 + h) - 2}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{2 + 2h - 2}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{2h}{h} = 2 \)