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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.10.
Derivar, utilizando la regla de la cadena, las siguientes funciones:
v) $f(x)=\sqrt{\left(x^{3}-2 x\right)^{\left(x^{2}-3\right)}}$
v) $f(x)=\sqrt{\left(x^{3}-2 x\right)^{\left(x^{2}-3\right)}}$
Respuesta
Acá nuevamente tenemos algo que depende de $x$ elevado a algo que también depende de $x$... Vamos a seguir los mismos pasos que te mostré en el item (t):
Reportar problema
Nosotros queremos derivar $f(x)=\sqrt{\left(x^{3}-2 x\right)^{\left(x^{2}-3\right)}}$. Primero, fijate que también la podemos escribir así:
$f(x) = (x^3 - 2x)^{\frac{1}{2}(x^2 - 3)}$
1. Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros:
$ \ln(f(x)) = \ln\left((x^3 - 2x)^{\frac{1}{2}(x^2 - 3)}\right) $
2. Usamos la propiedad de los logaritmos a la derecha:
$ \ln(f(x)) = \frac{1}{2}(x^2 - 3) \cdot \ln(x^3 - 2x) $
3. Derivamos ambos lados con respecto a \( x \):
$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \ln(x^3 - 2x) + \frac{1}{2} \cdot (x^2 - 3) \cdot \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x} $
Simplificamos:
$ \frac{f'(x)}{f(x)} = x \ln(x^3 - 2x) + \frac{1}{2} \cdot (x^2 - 3) \cdot \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x} $
Por último, despejamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = \sqrt{(x^3 - 2x)^{(x^2 - 3)}} \cdot \left(x \ln(x^3 - 2x) + \frac{1}{2} \cdot (x^2 - 3) \cdot \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x}\right) $