Nosotros queremos derivar $f(x)=\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5 x+1}}$

1. Aplicamos logaritmo natural en ambos miembros: $ \ln(f(x)) = \ln\left(\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5x + 1}}\right) $ 2. Utilizamos la propiedad del logaritmo para el término de la derecha: $ \ln(f(x)) = \sqrt{5x + 1} \cdot \ln\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right) $ 3. Derivamos ambos lados con respecto a \( x \). Atenti acá al derivar el lado derecho, no desesperes. Primero aplicá regla del producto. Y cuando te toque derivar "al segundo", vas a tener que aplicar la regla de la cadena, y la derivada de adentro del logaritmo es un cociente... así que ahí aplicá regla del cociente. Deberías llegar a esto: $ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{5}{2\sqrt{5x + 1}} \cdot \ln\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right) + \sqrt{5x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{x^{2}+1}} \cdot \left(\frac{\cos x \cdot (x^{2}+1) - \sin x \cdot 2x}{(x^{2}+1)^2}\right) $

6. Despejamos $f'(x)$ $ f'(x) = \left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5x + 1}} \cdot \left(\frac{5}{2\sqrt{5x + 1}} \cdot \ln\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right) + \sqrt{5x + 1} \cdot \frac{x^2 + 1}{\sin x} \cdot \left(\frac{\cos x \cdot (x^{2}+1) - \sin x \cdot 2x}{(x^{2}+1)^2}\right)\right) $