- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$ \lim_{x \to +\infty} 3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1 = +\infty $ $ \lim_{x \to -\infty} 3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1 = +\infty $

Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $+\infty$ y en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.

- Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas ocurren típicamente en funciones donde tenemos un cociente de polinomios, donde el grado del polinomio de arriba supera en un grado el del polinomio de abajo. Hacé la prueba y convencete que, en este caso, no tenemos asíntota oblicua (ya el límite de $m$ te va a dar infinito)

$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):

$ f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x $ $\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: $ 12x^3 + 12x^2 - 24x = 0$

$ 12x(x^2 + x - 2) = 0 $

De acá ya tenemos un punto crítico, $x=0$. El otro va a salir de plantear $x^2 + x - 2 = 0$, si hacés la resolvente vas a llegar a los otros dos puntos críticos: \( x = -2 \) y \( x = 1 \)

$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) \( x < -2 \) b) \( -2 < x < 0 \) c) \( 0 < x < 1 \) d) \( x > 1 \)

$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:

a) Para \( x < -2 \), podemos elegir \( x = -3 \): \( f'(-3) < 0 \), entonces \( f \) es decreciente. b) Para \( -2 < x < 0 \), podemos elegir \( x = -1 \): \( f'(-1) > 0 \), entonces \( f \) es creciente. c) Para \( 0 < x < 1 \), elijo \( x = \frac{1}{2} \): \( f'\left(\frac{1}{2}\right) < 0 \), entonces \( f \) es decreciente. d) Para \( x > 1 \), elijo \( x = 2 \): \( f'(2) > 0 \), entonces \( f \) es creciente. 

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.