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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
e) $f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
e) $f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que el denominador sea distinto de cero, es decir, $(x-1)^2 \neq 0$. Despejando, esto es lo mismo que pedir que $x \neq 1$
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Por lo tanto el dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{1\}$
$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R} -\{1\}$, entonces $x = 1$ es candidato a ser asíntota vertical. Lo confirmamos estudiando el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $1$ por derecha y por izquierda:
$ \lim_{x \to 1^+} -\frac{3}{(x-1)^{2}} = -\infty $
$ \lim_{x \to 1^-} -\frac{3}{(x-1)^{2}} = -\infty $
Por lo tanto, $f(x)$ tiene una asíntota vertical en $x=1$.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} -\frac{3}{(x-1)^2} = 0 $
$ \lim_{x \to -\infty} -\frac{3}{(x-1)^2} = 0 $
Es decir, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ tanto en $+ \infty$ como en $-\infty$
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
Acordate que para derivar esta función te conviene pensar a la función reescrita de esta manera: $f(x) = -3 (x-1)^{-2}$, y la derivás como un polinomio común y corriente. Vas a llegar a...
$ f'(x) = \frac{6}{(x-1)^3} $
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$\frac{6}{(x-1)^3} = 0$
$6 = 0 \rightarrow$ Absurdo!
Por lo tanto, $f(x)$ no tiene puntos críticos
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < 1 \)
b) \( x > 1 \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
a) Para \( x < 1 \), elegimos \( x = 0 \):
$ f'(0) = -6 < 0 $
La función $f$ es decreciente.
b) Para \( x > 1 \), elegimos \( x = 2 \):
$ f'(2) = 6 > 0$
La función $f$ es creciente.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.