- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $-\infty$ (por el dominio de $f$, tomar límite a $+\infty$ no tiene sentido)

$\lim_{x \to -\infty} x \sqrt{9-x} = -\infty$ (no te olvides, regla de signos!)

Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.

- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular $m$ y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua.

$\textbf{3)}$ Calculamos $f'(x)$:

Si derivamos $f$ aplicando la regla del producto, deberías llegar a:

Atenti con ese signo "menos", te aparece por la regla de la cadena (cuando derivás lo de adentro de la raíz de la cuadrada) ;)

Fijate además que el dominio de $f'(x)$ no incluye a $x = 9$... que estaba justo en el borde del dominio de $f$ :O ¿Podrá ser máximo o mínimo? Avancemos un poquito y ahora en un toque te cuento qué pasa acá...

  $\textbf{4)}$Igualamos $f'(x)$ a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

Por lo tanto, $x=6$ es punto crítico.

$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $-\infty < x < 6$ b) $6 < x \leq 9$ 

$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:

a) Para $x < 6$, podemos tomar $x = 0$: $f'(0) = 3 > 0$ En este intervalo, $f$ es creciente b) Para $x > 6$, elegimos $x = 8$: $f'(8) = -3 < 0$ En este intervalo, $f$ es decreciente

Viendo este comportamiento, $x=6$ es un máximo de $f$... ¿y $x=9$? Acordate que, por definición, para ser un máximo la función tiene que venir creciendo y después empezar a decrecer; para ser un mínimo, justo con lo contrario. Como en este caso estamos en el borde del dominio, no cumple estrictamente con la definición de máximo ni de mínimo, así que $x=9$ no es un extremo local (eso nos va a pasar siempre que tengamos algún punto excluido del dominio de $f'$ y que sí pertenece a $f$ pero justo está en el borde de su dominio)

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.