Resolución ejercicio 4.1 subitem f de Práctica 4 - Estudio de funciones de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Cabana

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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI

CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:

- Dominio e Imagen;

- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;

- Extremos locales y puntos silla;

- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;

- Graficar.

f) $f(x)=x \sqrt{9-x}$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=x \sqrt{9-x}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$: $\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso tenemos una restricción, aparece una raíz cuadrada. Tenemos que pedir que lo de adentro de la raíz sea mayor o igual a cero, es decir, $9-x \geq 0$. Esto es equivalente a pedir que $x\leq 9$

Por lo tanto el dominio de $f$ es $(-\infty, 9]$

$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $(-\infty, 9]$, no hay candidatos a asíntotas verticales.

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $-\infty$ (por el dominio de $f$, tomar límite a $+\infty$ no tiene sentido)

$ \lim_{x \to -\infty} x \sqrt{9-x} = -\infty $ (no te olvides, regla de signos!)

Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.

- Asíntotas oblicuas: Probá de calcular $m$ y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua.

$\textbf{3)}$ Calculamos $ f'(x) $:

Si derivamos $f$ aplicando la regla del producto, deberías llegar a:

$ f'(x) = \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}} $

Atenti con ese signo "menos", te aparece por la regla de la cadena (cuando derivás lo de adentro de la raíz de la cuadrada) ;)

Fijate además que el dominio de $f'(x)$ no incluye a $x = 9$... y si estaba en el dominio de $f$! Por lo tanto, $x = 9$ es candidato a máximo o mínimo.

$\textbf{4)}$Igualamos $ f'(x) $ a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:

$ \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}} = 0 $

$ \sqrt{9-x} = \frac{x}{2\sqrt{9-x}} $

$ 2 (9-x)= x$

$18 - 3x = 0$

$x = 6$

Por lo tanto, $x=6$ también es punto crítico

$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $ -\infty < x < 6 $ b) $ 6 < x \leq 9 $

$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de $ f'(x) $ en cada uno de los intervalos:

a) Para $ x < 6 $, podemos tomar $ x = 0 $: $ f'(0) = 3 > 0 $ En este intervalo, $ f $ es creciente b) Para $ x > 6 $, elegimos $ x = 8 $: $ f'(8) = -3 < 0 $ En este intervalo, $ f $ es decreciente

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.