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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.

g) f(x)={x21 si x22(x3)2+1 si x>2f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)={x21 si x22(x3)2+1 si x>2f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases} siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones} y, además, con el cuidado de que esta vez estamos trabajando con una función partida. 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R} 2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, no hay candidatos a asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±\pm \infty. Fijate que la expresión a usar es distinta en cada caso: limx+2(x3)2+1=+ \lim_{x \to +\infty} 2(x-3)^{2}+1 = +\infty limxx21=+ \lim_{x \to -\infty} x^2-1 = +\infty Es decir, ff no tiene asíntotas horizontales. - Asíntotas oblícuas: Probá de calcular mm, tanto en más como en menos infinito (usando la expresión adecuada en cada caso) y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua. 3)\textbf{3)} Calculamos f(x) f'(x) : Calculamos, en principio, la derivada de cada tramo de la función: Para x2 x \leq 2 : f(x)=2x f'(x) = 2x Para x>2 x > 2 : f(x)=4(x3) f'(x) = 4(x-3) Justo en x=2x=2, como ahí la función se parte, hay que hacerlo usando el cociente incremental. Si estudiás esta función igual que como vinimos haciendo en todos los ejercicios de la práctica anterior, vas a ver que ff es continua en x=2x = 2 pero no es derivable. ¿Y eso qué significa? Que f(x)f'(x) no está definida en x=2x = 2... pero si estaba en el dominio de ff! Entonces x=2x = 2 es candidato a máximo o mínimo =) 4)\textbf{4)}Igualamos f(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: Para x2 x \leq 2 , igualamos 2x=0 2x = 0 y obtenemos x=0 x = 0 Para x>2 x > 2 , igualamos 4(x3)=0 4(x-3) = 0 y obtenemos x=3 x = 3 . Entonces, tenemos puntos críticos en x=0 x = 0 en el primer tramo y en x=3 x = 3 en el segundo tramo. 5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f(x)f'(x) es continua y no tiene raíces: a) x<0 x < 0 b) 0x2 0 \leq x \leq 2 c) 2<x<3 2 < x < 3 d) x>3 x > 3 6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

(Ojo acá al evaluar el signo de f(x)f'(x), ver qué expresión usar de acuerdo al intervalo en el cual estamos!)

a) x<0 x < 0 : Tomamos x=1 x = -1 f(1)=2<0 f'(-1) = -2 < 0 La función ff es decreciente

b) 0<x2 0 < x \leq 2 : Tomamos x=1 x = 1 f(1)=2>0 f'(1) = 2 > 0 La función ff es creciente

c) 2<x<3 2 < x < 3 : Tomamos x=2.5 x = 2.5 f(2.5)=2<0 f'(2.5) = -2 < 0 La función ff es decreciente

d) x>3 x > 3 : Tomamos x=4 x = 4 f(4)=4>0 f'(4) = 4 > 0 La función ff es creciente

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.


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