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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones definidas por teniendo en cuenta:
g)
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
g)
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función
siguiendo la estructura que vimos en las clases de y, además, con el cuidado de que esta vez estamos trabajando con una función partida.
Identificamos el dominio de
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de es todo
Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es , no hay candidatos a asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando tiende a . Fijate que la expresión a usar es distinta en cada caso:
Es decir, no tiene asíntotas horizontales.
- Asíntotas oblícuas: Probá de calcular , tanto en más como en menos infinito (usando la expresión adecuada en cada caso) y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua.
Calculamos :
Calculamos, en principio, la derivada de cada tramo de la función:
Para :
Para :
Justo en , como ahí la función se parte, hay que hacerlo usando el cociente incremental. Si estudiás esta función igual que como vinimos haciendo en todos los ejercicios de la práctica anterior, vas a ver que es continua en pero no es derivable. ¿Y eso qué significa? Que no está definida en ... pero si estaba en el dominio de ! Entonces es candidato a máximo o mínimo =)
Igualamos a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
Para , igualamos y obtenemos
Para , igualamos y obtenemos .
Entonces, tenemos puntos críticos en en el primer tramo y en en el segundo tramo.
Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que es continua y no tiene raíces:
a)
b)
c)
d)
Evaluamos el signo de en cada uno de los intervalos:
Reportar problema
(Ojo acá al evaluar el signo de , ver qué expresión usar de acuerdo al intervalo en el cual estamos!)
a) : Tomamos
La función es decreciente
b) : Tomamos
La función es creciente
c) : Tomamos
La función es decreciente
d) : Tomamos
La función es creciente
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar . Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.
