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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
k) $f(x)=e^{1 / x}$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
k) $f(x)=e^{1 / x}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=e^{1 / x}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que el denominador (ese que está en el exponente) sea distinto de cero, es decir, $x \neq 0$.
Reportar problema
Por lo tanto el dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{0\}$
$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R} -\{0\}$, entonces $x = 0$ es candidato a ser asíntota vertical. Lo confirmamos estudiando el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $0$ por derecha y por izquierda:
$ \lim_{x \to 0^+} e^{1 / x} = e^{+\infty} = +\infty $
$ \lim_{x \to 0^-} e^{1 / x} = e^{-\infty} = 0 $
Como al menos uno de los límites se va a infinito, entonces tenemos una asíntota vertical en $x=0$
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} e^{1/x} = e^{0} = 1 $
$ \lim_{x \to -\infty} e^{1/x} = e^{0} = 1 $
Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en \( y = 1 \).
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = e^{1/x} \cdot (-1/x^2) $
$ f'(x) = -\frac{e^{1/x}}{x^2} $
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$-\frac{e^{1/x}}{x^2} = 0$
$ e^{1/x} = 0 \rightarrow$ Absurdo!
Por lo tanto, no hay puntos críticos.
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x > 0 \)
b) \( x < 0 \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
Si querés hacelo explícitamente, elegí un número en cada intervalo y convencete, pero si mirás fijo $f'(x)$ vas a ver que siempre es negativa, para cualquier $x$ que elijas. Por lo tanto, $f$ es siempre decreciente.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.