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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
m) f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}} siguiendo la estructura que vimos en las clases de Estudio de funciones\textbf{Estudio de funciones}: 1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}

2)\textbf{2)} Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales

- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞e−x2=0 \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0 lim⁡x→−∞e−x2=0 \lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0

Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en y=0 y = 0

3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)=−2xe−x2 f'(x) = -2x e^{-x^2}

4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:

−2xe−x2=0 -2x e^{-x^2} = 0 Podemos ver que la derivada se iguala a cero cuando x=0 x = 0 , ya que la exponencial nunca es cero. Por lo tanto, el único punto crítico es x=0 x = 0 .

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

- x<0 x < 0 - x>0 x > 0

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

- Para x<0 x < 0 , f′(x)>0 f'(x) > 0 . Entonces f(x) f(x) es creciente  - Para x>0 x > 0 , f′(x)<0 f'(x) < 0 . Entonces f(x) f(x) es decreciente 

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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