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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
m) $f(x)=e^{-x^{2}}$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
m) $f(x)=e^{-x^{2}}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=e^{-x^{2}}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R} $
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$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
\( \lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0 \)
\( \lim_{x \to -\infty} e^{-x^2} = 0 \)
Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en \( y = 0 \)
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = -2x e^{-x^2} $
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$ -2x e^{-x^2} = 0 $
Podemos ver que la derivada se iguala a cero cuando \( x = 0 \), ya que la exponencial nunca es cero. Por lo tanto, el único punto crítico es \( x = 0 \).
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
- \( x < 0 \)
- \( x > 0 \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
- Para \( x < 0 \), \( f'(x) > 0 \). Entonces \( f(x) \) es creciente
- Para \( x > 0 \), \( f'(x) < 0 \). Entonces \( f(x) \) es decreciente
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.