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$\textbf{2)}$ Buscamos las raíces de $f(x)$ igualando la función a cero
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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.2.
De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ
g) $f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}$
g) $f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$
Tenemos que buscar las raíces en cada una de las porciones de esta función partida...
Primera parte: \( f(x) = x^2 - 1 \) si \( x \leq 2 \)
Esto nos da las raíces \( x = -1 \) y \( x = 1 \), ambas son válidas para esta parte de la función ya que ambas son menores o iguales a 2.
Segunda parte: \( f(x) = 2(x - 3)^2 + 1 \) si \( x > 2 \)
\( 2(x - 3)^2 + 1 = 0 \)
\( (x - 3)^2 = -\frac{1}{2} \rightarrow \) Absurdo!
Ningún valor real de \( x \) satisface esta ecuación. Por lo tanto, esta parte de la función no tiene raíces.
$\textbf{3)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f(x)$ es continua y no tiene raíces (en el Ejercicio 1 deberías haber chequeado que en $x=2$ la función es continua)
a) \( x < -1 \)
b) \( -1 < x < 1 \)
c) \( x > 1 \)
$\textbf{4)}$ Evaluamos el signo de \( f(x) \) en cada uno de los intervalos:
Para (\( x < -1 \)), elegimos \( x = -2 \):
\( f(-2) = 3 > 0 \)
Para (\( -1 < x < 1 \)), elegimos \( x = 0 \):
\( f(0) = -1 < 0 \)
Para (\( x > 1 \)), elegimos \( x = 4 \):
- \( f(4) = 3 > 0 \)
Por lo tanto,
Conjunto de negatividad: \( (-1, 1) \)
Conjunto de positividad: \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \).