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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.2. De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ
g) f(x)={x2−1 si x≤22(x−3)2+1 si x>2f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R\mathbb{R}

2)\textbf{2)} Buscamos las raíces de f(x)f(x) igualando la función a cero

Tenemos que buscar las raíces en cada una de las porciones de esta función partida...

Primera parte: f(x)=x2−1 f(x) = x^2 - 1 si x≤2 x \leq 2 Esto nos da las raíces x=−1 x = -1 y x=1 x = 1 , ambas son válidas para esta parte de la función ya que ambas son menores o iguales a 2. Segunda parte: f(x)=2(x−3)2+1 f(x) = 2(x - 3)^2 + 1 si x>2 x > 2 2(x−3)2+1=0 2(x - 3)^2 + 1 = 0
(x−3)2=−12→ (x - 3)^2 = -\frac{1}{2} \rightarrow Absurdo! 
Ningún valor real de x x satisface esta ecuación. Por lo tanto, esta parte de la función no tiene raíces.

3)\textbf{3)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f(x)f(x) es continua y no tiene raíces (en el Ejercicio 1 deberías haber chequeado que en x=2x=2 la función es continua)

a) x<−1 x < -1 b) −1<x<1 -1 < x < 1 c) x>1 x > 1

4)\textbf{4)} Evaluamos el signo de f(x) f(x) en cada uno de los intervalos:

Para (x<−1 x < -1 ), elegimos x=−2 x = -2 : f(−2)=3>0 f(-2) = 3 > 0  

Para (−1<x<1 -1 < x < 1 ), elegimos x=0 x = 0 : f(0)=−1<0 f(0) = -1 < 0  

Para (x>1 x > 1 ), elegimos x=4 x = 4 : - f(4)=3>0 f(4) = 3 > 0


Por lo tanto, Conjunto de negatividad: (−1,1) (-1, 1)  
Conjunto de positividad: (−∞,−1)∪(1,+∞) (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) .
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