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$\textbf{2)}$ Buscamos las raíces de $f(x)$ igualando la función a cero
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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.2.
De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ
ñ) $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$
ñ) $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{-1,1\}$
$\frac{1}{1-x^{2}} = 0$
$ 1 = 0 \rightarrow$ Absurdo!
Por lo tanto, $f$ no tiene raíces.
$\textbf{3)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < -1 \)
b) \( -1 < x < 1 \)
c) \( x > 1 \)
$\textbf{4)}$ Evaluamos el signo de \( f(x) \) en cada uno de los intervalos:
Para el Intervalo (\( x < -1 \)), podemos tomar \( x = -2 \) como ejemplo:
\( f(-2) = -\frac{1}{3} < 0 \)
Para el Intervalo (\( -1 < x < 1 \)), tomemos \( x = 0 \) como ejemplo:
\( f(0) = 1 > 0\)
Para el Intervalo (\( x > 1 \)), podemos tomar \( x = 2 \)
\( f(2) = -\frac{1}{3} < 0\)
Por lo tanto,
Conjunto de positividad: $(-1,1)$
Conjunto de negatividad: $(-\infty, -1) \cup (1,+\infty)$