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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.3. En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión. - a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
c) f(x)=3x4+4x3−12x2−1f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R\mathbb{R}

2)\textbf{2)} Calculamos f′′(x)f''(x)

f′(x)=12x3+12x2−24x f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x
f′′(x)=36x2+24x−24 f''(x) = 36x^2 + 24x - 24

3)\textbf{3)} Buscamos los puntos de inflexión de f(x)f(x) igualando la derivada segunda (f′′(x))(f''(x)) a cero

36x2+24x−24=0 36x^2 + 24x - 24 = 0

Si aplicás la fórmula resolvente vas a llegar a que: x=−1±73 x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3} (si, está bien jaja, es este el resultado)
Por lo tanto, tenemos dos posibles puntos de inflexión en x=−1+73 x = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} y x=−1−73 x = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} .

4)\textbf{4)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<−1−73 x < \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} b) −1−73<x<−1+73 \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} < x < \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} c) x>−1+73 x > \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}

5)\textbf{5)} Evaluamos el signo de f′′(x) f''(x) en cada uno de los intervalos:

- Para x<−1−73→ x < \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} \rightarrow   f′′(x) f''(x) es positiva
- Para −1−73<x<−1+73→ \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} < x < \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \rightarrow f′′(x) f''(x) es negativa
- Para x>−1+73→ x > \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \rightarrow  f′′(x) f''(x) es positiva

Recapitulando,

- Los puntos de inflexión de ff son x=−1+73 x = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} y x=−1−73 x = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} - f f es cóncava hacia arriba cuando x<−1−73 x < \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} y x>−1+73 x > \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} . - f f es cóncava hacia abajo cuando −1−73<x<−1+73 \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} < x < \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} .

Qué números tan bellos los de este ejercicio (dijo nadie nunca xD)
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