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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.3.
En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión.
- a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
d) $f(x)=x+\frac{4}{x}$
d) $f(x)=x+\frac{4}{x}$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
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El dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{0\}$
$\textbf{2)}$ Calculamos $f''(x)$
\( f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} \)
\( f''(x) = \frac{8}{x^3} \)
$\textbf{3)}$ Buscamos los puntos de inflexión de $f(x)$ igualando la derivada segunda $(f''(x))$ a cero
\( \frac{8}{x^3} = 0 \)
$8 = 0 \rightarrow$ Absurdo!
Por lo tanto $f$ no tiene puntos de inflexión
$\textbf{4)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f''(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x > 0 \)
b) \( x < 0 \)
$\textbf{5)}$ Evaluamos el signo de \( f''(x) \) en cada uno de los intervalos:
- Para \( x > 0 \), \( f''(x) > 0 \), lo que implica que la función es cóncava hacia arriba en \( (0, +\infty) \).
- Para \( x < 0 \), \( f''(x) < 0 \), lo que implica que la función es cóncava hacia abajo en \( (-\infty, 0) \).