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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.3.
En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión.
- a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
e) $f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}$
e) $f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
Reportar problema
El dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{1\}$
$\textbf{2)}$ Calculamos $f''(x)$
\( f'(x) = \frac{6}{(x-1)^{3}} \)
\( f''(x) = -\frac{18}{(x-1)^{4}} \)
$\textbf{3)}$ Buscamos los puntos de inflexión de $f(x)$ igualando la derivada segunda $(f''(x))$ a cero
\( -\frac{18}{(x-1)^{4}} = 0 \)
Igual que ya nos ha pasado en otros despejes similares, esta ecuación nunca vale cero. Por lo tanto $f$ no tiene puntos de inflexión.
$\textbf{4)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f''(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x<1$
b) $x> 1$
$\textbf{5)}$ Evaluamos el signo de \( f''(x) \) en cada uno de los intervalos:
Bueno, si querés podés elegir un número de cada intervalo y evaluarlo en $f''(x)$, pero si mirás bien la expresión de esta derivada, fijate que siempre es negativa, para cualquier $x$ que pongas ahí... por lo tanto, si $f''(x)$ es siempre negativa, entonces $f$ es siempre cóncava hacia abajo, en todo su dominio.