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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.3.
En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión.
- a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
i) $f(x)=e^{x^{2}+x}$
i) $f(x)=e^{x^{2}+x}$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
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El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$
$\textbf{2)}$ Calculamos $f''(x)$
\( f'(x) = e^{x^2 + x} \cdot (2x + 1) \)
\( f''(x) = e^{x^2 + x} \cdot (4x^2 + 4x + 3) \)
$\textbf{3)}$ Buscamos los puntos de inflexión de $f(x)$ igualando la derivada segunda $(f''(x))$ a cero
\( e^{x^2 + x} \cdot (4x^2 + 4x + 3) = 0 \)
La exponencial nunca vale cero. Por lo tanto, si esto vale cero es porque la cuadrática entre paréntesis vale cero. Probá de hacer la resolvente y vas a ver que no tiene soluciones reales. Entonces, no hay ningún $x$ que haga que $f''(x)$ valga cero, y por lo tanto $f$ no tiene puntos de inflexión.
Podés probar ahora de evaluar $f''(x)$ en cualquier número real y vas a ver que siempre es positiva. Eso quiere decir que $f$ siempre es cóncava hacia arriba =)