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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.3.
En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión.
- a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
k) $f(x)=e^{1 / x}$
k) $f(x)=e^{1 / x}$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
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El dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{0\}$
$\textbf{2)}$ Calculamos $f''(x)$
\( f'(x) = -e^{1/x} \cdot \frac{1}{x^2} \)
Atenti para la derivada segunda, con cuidado y aplicando regla del producto! Vas a llegar a:
\( f''(x) = e^{1/x} \cdot \left(\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}\right) \)
$\textbf{3)}$ Buscamos los puntos de inflexión de $f(x)$ igualando la derivada segunda $(f''(x))$ a cero
\( e^{1/x} \cdot \left(\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}\right) = 0 \)
La función exponencial \( e^{1/x} \) es siempre positiva, así que los puntos de inflexión van a salir de plantear:
\( \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4} = 0 \)
$\frac{2}{x^3} = -\frac{1}{x^4}$
\( x = -\frac{1}{2} \)
Entonces, hay un posible punto de inflexión en \( x = -\frac{1}{2} \).
$\textbf{4)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f''(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < -\frac{1}{2}$
b) $-\frac{1}{2} < x < 0$
c) $x>0$
$\textbf{5)}$ Evaluamos el signo de \( f''(x) \) en cada uno de los intervalos:
En $x < -\frac{1}{2}$, $f''(x)$ es negativa, por lo tanto $f$ es cóncava hacia abajo
En $-\frac{1}{2} < x < 0$, $f''(x)$ es positiva, por lo tanto $f$ es cóncava hacia arriba
En $x > 0$, $f''(x)$ es positiva, por lo tanto $f$ es cóncava hacia arriba
Recapitulando,
- Hay un punto de inflexión en \( x = -\frac{1}{2} \)
- La función es cóncava hacia abajo en \( (0, -\frac{1}{2}) \).
- La función es cóncava hacia arriba en \( (-\frac{1}{2}, +\infty) \).