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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.4.
Dadas las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$, indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.
a) $f(x)=x^{5}-20 x+2, x \epsilon[-2,3]$
a) $f(x)=x^{5}-20 x+2, x \epsilon[-2,3]$
Respuesta
Vamos a estudiar la función $f(x)=x^{5}-20 x+2, x \epsilon[-2,3]$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Máximos y mínimos absolutos}$.
En este caso, $f$ está definida en un intervalo cerrado y acotado, $[-2,3]$, y es continua en este intervalo. Por lo tanto, por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que $f$ va a alcanzar máximo y mínimo absoluto en este intervalo.
$\textbf{1)}$ Empecemos derivando $f$
\( f'(x) = 5x^4 - 20 \)
$\textbf{2)}$ Igualamos $f'$ a cero y despejamos:
\( 5x^4 - 20 = 0 \)
\( x^4 = 4 \)
$|x| = \sqrt{2}$
Por lo tanto, $x=-\sqrt{2}$ y $x=\sqrt{2}$ son puntos críticos. Ambos pertenecen al intervalo $[-2,3]$, así que consideramos los dos.
Además, acordate que los extremos del intervalo $[-2,3]$ también son extremos de la función.
$\textbf{3)}$ Evaluamos $f$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo
- \( f(-2) = 10 \)
- \( f(-\sqrt{2}) \approx 24.62 \)
- \( f(\sqrt{2}) \approx -20.62 \rightarrow \) Mínimo absoluto
- \( f(3) = 185 \rightarrow \) Máximo absoluto
La imagen de $f$ es $[f(\sqrt{2}), f(3)]$. Es decir, desde lo que vale la función en el mínimo absoluto hasta lo que vale la función en el máximo absoluto ;)