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Análisis Matemático 66
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CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.4.
Dadas las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$, indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.
c) $f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}, x \in\left[-1, \frac{1}{2}\right]$
c) $f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}, x \in\left[-1, \frac{1}{2}\right]$
Respuesta
Vamos a estudiar la función $f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}, x \in\left[-1, \frac{1}{2}\right]$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Máximos y mínimos absolutos}$.
En este caso, $f$ está definida en un intervalo cerrado y acotado, $[-1,\frac{1}{2}]$, y es continua en este intervalo. Por lo tanto, por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que $f$ va a alcanzar máximo y mínimo absoluto en este intervalo.
$\textbf{1)}$ Empecemos derivando $f$
Derivamos usando regla del cociente, deberías llegar a...
\( f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - (x + 1)2x}{(x^2 + 1)^2} \)
Reacomodando...
\( f'(x) = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} \)
$\textbf{2)}$ Igualamos $f'$ a cero y despejamos:
$\frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} = 0$
$ -x^2 - 2x + 1 = 0$
Si aplicás acá la fórmula resolvente, te van a quedar dos números que no parecen muy amigables, pero si, son esos: \( x = -1 \pm \sqrt{2} \)
Por lo tanto, $x=-1 -\sqrt{2}$ y $x=-1 +\sqrt{2}$ son puntos críticos. Sin embargo, $x=-1 -\sqrt{2}$ no pertenece al intervalo que estamos mirando, así que no lo consideramos.
Además, acordate que los extremos del intervalo $[-1,\frac{1}{2}]$ también son extremos de la función.
$\textbf{3)}$ Evaluamos $f$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo
\( f(-1) = 0 \rightarrow \) Mínimo absoluto
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = 1.2 \)
\( f(-1 + \sqrt{2}) \approx 1.2071... \rightarrow \) Máximo absoluto
La imagen de $f$ es $[f(-1), f(-1 + \sqrt{2})]$. Es decir, desde lo que vale la función en el mínimo absoluto hasta lo que vale la función en el máximo absoluto ;)