En este caso fijate que el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{-1,1\}$ y nosotros estamos considerando el intervalo $[-2,3]$... es decir, que nuestra función no es continua en este intervalo! Por lo tanto, acá nada de Teorema de Weierstrass, no podemos asegurar la existencia de máximo y mínimo absoluto! 

Encaramos este análisis más parecido a como hacíamos en estudio de funciones:

$\textbf{1)}$ Veamos primero qué pasa en $-1$ y $1$, si nuestra $f$ tiene ahí asíntotas verticales:

Para $x=-1$

$ \lim_{x \to -1^+} \frac{2}{x^{2}-1} = -\infty $ $ \lim_{x \to -1^-} \frac{2}{x^{2}-1} = +\infty $ Para $x=1$ $ \lim_{x \to 1^+} \frac{2}{x^{2}-1} = +\infty $ $ \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{x^{2}-1} = -\infty $

Es decir, $f$ tiene asíntotas verticales en $x=1$ y $x = -1$

$\textbf{2)}$ Derivamos $f$ e igualamos la derivada a cero para buscar puntos críticos:

\( f'(x) = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} \)

Igualamos a cero y despejamos:

$\frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = 0$

$ x = 0$

Por lo tanto, $f$ tiene un punto crítico en $x=0$ Y ahora ojo acá. Como el Teorema de Weierstrass $\textbf{no vale}$ en este ejercicio, no podemos hacer lo que veníamos haciendo de evaluar el punto crítico y los extremos del intervalo en $f$, porque nada nos asegura la existencia de máximo y mínimo absoluto... De hecho, no lo va a haber no? Porque la función en las asíntotas verticales se está disparando hacia $+\infty$ y $-\infty$, lo ves?

$\textbf{3)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde $f'$ es continua y no tiene raices, y evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada una:

a) $[-2, -1)$: $f'$ es positiva, por lo tanto $f$ es creciente b) $(-1,0)$: $f'$ es positiva, por lo tanto $f$ es creciente c) $(0,1)$: $f'$ es negativa, por lo tanto $f$ es decreciente d) $(1,3)$: $f'$ es negativa, por lo tanto $f$ es decreciente

 

Por el comportamiento de $f$, podemos ver que nuestro punto crítico $x=0$ es un máximo, pero es un máximo relativo (porque la función puede llegar a valer muuuucho más que lo que vale en ese punto)