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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.15.
Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
e) $\lim _{x \rightarrow 0}[x \cdot \ln (\sin (x))]$
e) $\lim _{x \rightarrow 0}[x \cdot \ln (\sin (x))]$
Respuesta
Queremos resolver este límite: $\lim _{x \rightarrow 0}x \cdot \ln (\sin (x))$
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En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito". La clave en este tipo de indeterminaciones va a estar en reescribirlas para poder aplicar L'Hopital. Fijate que: $x = \frac{1}{\frac{1}{x}}$, no? Entonces mirá...
$\lim _{x \rightarrow 0}x \cdot \ln (\sin (x)) = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{x}}$
Hasta ahora lo único que hicimos fue reescribir la expresión. Pero lo bueno de tenerla escrita así, es que ahora cuando $x$ tiende a $0$... lo de arriba tiende a infinito, y lo de abajo también! Tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", entonces ahora sí podemos aplicar L'Hopital =) Se entiende? Si aplicamos L'Hopital nos queda:
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\sin(x)} \cos(x)}{-\frac{1}{x^2}} $
Reacomodamos un poco:
$ \lim _{x \rightarrow 0} -x^2 \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \lim _{x \rightarrow 0} [\frac{-x^2}{\sin(x)}] \cdot \cos(x)$
Fijate que $\cos(0) = 1$, esa parte no tiene problema, donde está el tema es en la partecita que a propósito te puse entre corchetes, ahí tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero".
Cálculo auxiliar: Nos fijamos a donde tiende $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-x^2}{\sin(x)}$ aplicando L'Hopital
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2x}{\cos(x)} = 0$
Ahora que ya sabemos que la parte entre corchetes tiende a cero, volvemos y...
$\lim _{x \rightarrow 0} [\frac{-x^2}{\sin(x)}] \cdot \cos(x) = 0$
Por lo tanto,
$\lim _{x \rightarrow 0}x \cdot \ln (\sin (x)) = 0$