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@Ivan Hola Ivan! Mirá, es por esto:

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Flor una genia, como siempre, se te admira y aprecia mucho, gracias
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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.15.
Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
i)
i)
Respuesta
Queremos resolver este límite:
Reportar problema
Si arrancamos haciendo un análisis de la situación, cuando tiende a tenemos algo que tiende a infinito, elevado a algo que tiende a cero. Esto es una indeterminación de tipo . Honestamente, esta indeterminación aparece acá en la guía pero jamás vi que tomen este tipo de límites en un parcial o final, por eso en las clases del curso no vimos ningún ejemplo como este. Ya que estás acá, aprovechamos y te muestro cómo lo podés resolver (pero, te repito, este ejercicio no tiene nada que ver con el enfoque y el nivel de dificultad de los exámenes! Así que tranqui)
Arrancamos tomando el logaritmo natural de la función:
Reescribiendo usando propiedad de logaritmos:
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero x infinito", reescribimos para poder aplicar L'Hopital:
Ahora si, tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital. Ojo acá por las dudas, vamos despacito:
La derivada del numerador es
La derivada del denominador es:
Entonces, cuando aplicamos L'Hopital nos queda...
Reacomodamos:
Recordando que , podemos simplificar:
Tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital de nuevo:
Por lo tanto,
Es decir, lo que nos dio cero es nuestro límite original, sino este, con el logaritmo natural! Para recuperar nuestro límite original aplicamos en ambos miembros:
Entonces,
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Ivan
28 de mayo 20:45
Hola Profe, no entiendo por que ln (tan(pi/2) es igual a infinito, por favor podria explicarlo, muchas gracias

Flor
PROFE
29 de mayo 9:26

Acordate que cuando lo de adentro del logaritmo se va a , entonces
Se ve mejor ahí?

Ivan
29 de mayo 19:59