Si arrancamos haciendo un análisis de la situación, cuando $x$ tiende a $\pi / 2$ tenemos algo que tiende a infinito, elevado a algo que tiende a cero. Esto es una indeterminación de tipo $(\infty)^0$. Honestamente, esta indeterminación aparece acá en la guía pero jamás vi que tomen este tipo de límites en un parcial o final, por eso en las clases del curso no vimos ningún ejemplo como este. Ya que estás acá, aprovechamos y te muestro cómo lo podés resolver (pero, te repito, este ejercicio no tiene nada que ver con el enfoque y el nivel de dificultad de los exámenes! Así que tranqui)

Arrancamos tomando el logaritmo natural de la función:

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln\left([\tan(x)]^{2x - \pi}\right)$

Reescribiendo usando propiedad de logaritmos:

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (2x - \pi)\ln(\tan(x))$

Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero x infinito", reescribimos para poder aplicar L'Hopital:

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\tan(x))}{\frac{1}{2x - \pi}}$

Ahora si, tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital. Ojo acá por las dudas, vamos despacito:

La derivada del numerador es $\frac{1}{\tan(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}$ La derivada del denominador es: $ -\frac{2}{(2 x-\pi)^2}$ Entonces, cuando aplicamos L'Hopital nos queda... $\lim _{x \rightarrow \pi / 2}\frac{\frac{1}{\tan(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}}{-\frac{2}{(2 x-\pi)^2}}$

Reacomodamos:

$\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{1}{\tan(x) \cos^2(x)} \cdot \frac {-(2x-\pi)^2}{2} $

Recordando que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, podemos simplificar:

$\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{-(2x-\pi)^2}{2 \sin(x) \cos(x)} $

Tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital de nuevo:

$\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{-4 (2x - \pi)}{2 \cos^2(x) - 2\sin^2(x)} = 0 $

Por lo tanto, 

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln\left([\tan(x)]^{2x - \pi}\right) = 0$

Es decir, lo que nos dio cero $\textbf{no}$ es nuestro límite original, sino este, con el logaritmo natural! Para recuperar nuestro límite original aplicamos $e$ en ambos miembros:

$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} [\tan(x)]^{2x - \pi}) = e^0 = 1$ Entonces, $\lim _{x \rightarrow \pi / 2}[\tan (x)]^{2 x-\pi} = 1$