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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

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4.15. Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
n) lim⁡x→0+(sin⁡(x))x\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin (x))^{x}

Respuesta

Queremos resolver este límite: lim⁡x→0+(sin⁡(x))x\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin (x))^{x}

También lo vamos a catalogar como ejercicio voladísimo y que no tiene nada que ver con el enfoque y la dificultad que después normalmente tienen los parciales. En este caso tenemos algo que tiende a cero, elevado a algo que también tiende a cero... eso es un indeterminación (que no aparezca nunca, excepto acá, y por eso nunca ameritó ni una clase jaja) Pero, si venís muy bien con la materia y al día, te muestro cómo la podés salvar. Vamos a usar un razonamiento similar al que aplicamos para las indeterminaciones de tipo (∞)0(\infty)^0 que aparecieron en este Ejercicio. 

Arrancamos tomando logaritmo natural del límite original:

lim⁡x→0+ln⁡((sin⁡(x))x) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln((\sin(x))^x) Reescribimos aplicando propiedades de logaritmos: lim⁡x→0+x⋅ln⁡(sin⁡(x))\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot \ln(\sin(x))

Ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito", reescribimos para poder aplicar L'Hopital:

lim⁡x→0+ln⁡(sin⁡(x))1/x \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(\sin(x))}{1/x}

Ya tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", ahora si, aplicamos L'Hopital...

lim⁡x→0+1sin⁡(x)cos⁡(x)−1x2 \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin(x)} \cos(x)}{-\frac{1}{x^2}}

Reacomodamos:

lim⁡x→0+−cos⁡(x)x2sin⁡(x) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\cos(x) x^2}{\sin(x)}

Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero", no hay problema, aplicamos L'Hopital una vez más:

lim⁡x→0+sin⁡(x)x2−cos⁡(x)2xcos⁡(x)=0 \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin(x) x^2 - \cos(x)2x}{\cos(x)} = 0

Pero ojo, lo que nos terminó dando 00 no es el límite original, sino este:

lim⁡x→0+ln⁡((sin⁡(x))x)=0 \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln((\sin(x))^x) = 0
  Aplicamos ee a ambos miembros para obtener el valor del límite original: lim⁡x→0+(sin⁡(x))x=e0=1\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin (x))^{x} = e^0 = 1
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