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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.16.
Encontrar todas las asíntotas (vertical, horizontal y oblicua) de la siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ :
b) $f(x)=\frac{x-1}{\ln (x)}$
b) $f(x)=\frac{x-1}{\ln (x)}$
Respuesta
Estudiamos las asíntotas de la función: $f(x)=\frac{x-1}{\ln (x)}$
Reportar problema
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f$
Por un lado, lo de adentro del logaritmo tiene que ser mayor estricto que cero y, además, el denominador no puede ser cero. Si sumás estas restricciones llegás a que el dominio de $f$ es $(0,1) \cup (1,+\infty)$
$\textbf{1)}$ Asíntotas verticales
Tenemos dos candidatos a asíntota vertical, $x=0$ y $x=1$.
Estudiamos primero $x=0$
$
\lim_{x \to 0^+} \frac{x-1}{\ln (x)} = 0
$
Por lo tanto, en $x=0$ no hay asíntota vertical.
Estudiamos ahora $x=1$
$
\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\ln (x)}
$
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:
$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} x = 1$
Por lo tanto, tampoco hay asíntota vertical en $x=1$.
$\textbf{3)}$ Asíntotas horizontales: Tomamos límite cuando $x$ tiende a $+ \infty$
$
\lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{\ln (x)}
$
Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$
$\textbf{4)}$ Asíntotas oblicuas
Empezamos buscando la pendiente de la posible asíntota oblícua:
$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{x \ln(x)}$
Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital (atenti en el denominador, regla del producto!)
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\ln(x) + 1} = 0$
Cualquier asíntota oblicua debería tener pendiente $m \neq 0$. Por lo tanto $f$ no tiene asíntota oblicua.