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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
5.2.
Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.
c) $f(x)=\cos (x)$ de orden 10 con $x_{0}=0$.
c) $f(x)=\cos (x)$ de orden 10 con $x_{0}=0$.
Respuesta
Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $10$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=\cos (x)$
- \( f(0) = \cos(0) = 1 \)
- \( f''(0) = -\cos(0) = -1 \)
- \( f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1 \)
- \( f^{(6)}(0) = -\cos(0) = -1 \)
- \( f^{(8)}(0) = \cos(0) = 1 \)
- \( f^{(10)}(0) = -\cos(0) = -1 \)
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Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura (respirá hondo... ahí va)
$ p(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + \frac{f^{(6)}(0)}{6!}x^6 + \frac{f^{(7)}(0)}{7!}x^7 + \frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 + \frac{f^{(9)}(0)}{9!}x^9 + \frac{f^{(10)}(0)}{10!}x^{10} $
Esto lo podríamos escribir de una forma mucho más compacta así:
$ p(x) = \sum_{n=0}^{10} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $
Bueno, arrancamos, tenemos que evaluar $f$ y sus derivadas en $x=0$. Ahora, tené en cuenta que en todas las derivadas impares nos va a aparecer un seno, que cuando lo evaluemos en $x=0$ nos va a dar cero. Por eso, en realidad sólo vamos a tener que considerar las derivadas de orden par:
Reemplazando en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor nos queda:
$ p(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \frac{x^{10}}{10!} $