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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.3. Sea el polinomio de Taylor P(x)=5(x−3)6+3(x−3)+1P(x)=5(x-3)^{6}+3(x-3)+1 asociado a la función y=f(x)y=f(x) centrado en x=3x=3 de grado 6. Se pide:
c) Calcular el polinomio de Taylor de g(x)=ef(x)g(x)=e^{f(x)} centrado en x=3x=3 de grado 2.

Respuesta

Bueno, para calcular el polinomio de Taylor de g(x)=ef(x) g(x) = e^{f(x)} centrado en x0=3 x_0 = 3 de orden 2, vamos a usar la información que ya tenemos de las derivadas de f(x) f(x) evaluadas en x0=3 x_0 = 3 .

Ante todo, sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

P2(x)=g(3)+g′(3)(x−3)+g′′(3)2!(x−3)2 P_2(x) = g(3) + g'(3)(x-3) + \frac{g''(3)}{2!}(x-3)^2

Entonces, para completar nuestra respuesta, lo que en realidad necesitamos son g(3)g(3), g′(3)g'(3) y g′′(3)g''(3)

g(x)=ef(x) g(x) = e^{f(x)} g(3)=ef(3)=e1=e g(3) = e^{f(3)} = e^1 = e

g′(x)=ef(x)⋅f′(x) g'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) (atenti acá, regla de la cadena!) g′(3)=ef(3)⋅f′(3)=3e g'(3) = e^{f(3)} \cdot f'(3) = 3e

Mucho ojo ahora para calcular la derivada segunda, aplicá regla del producto y regla de la cadena!

g′′(x)=(ef(x)⋅f′(x))⋅f′(x)+ef(x)⋅f′′(x) g''(x) = (e^{f(x)} \cdot f'(x)) \cdot f'(x) + e^{f(x)} \cdot f''(x)
g′′(3)=9e g''(3) = 9e

¡Listo! Ahora reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:

P2(x)=e+3e(x−3)+9e2(x−3)2 P_2(x) = e + 3e(x-3) + \frac{9e}{2}(x-3)^2
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