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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.3.
Usando el método de sustitución, calcular las siguientes integrales:
f) $\int 2^{x} d x$
f) $\int 2^{x} d x$
Respuesta
Apa, qué tenemos acá?
Reportar problema
$\int 2^{x} d x$
Si acá nos hubiera aparecido $e$ en vez de $2$, no hubiéramos tenido drama, la integrábamos sin problema porque las vimos en la tabla. Ahora, ¿tenemos una forma más general para poder integrar cualquier número elevado a la $x$? Seguime en esto. Vamos primero a reescribir nuestra función a integrar así:
$ 2^x = (e^{\ln(2)})^x = e^{x\ln(2)} $
Ahora, tomamos la siguiente sustitución:
$ u = x\ln(2) $
$ du = \ln(2) \, dx \quad \Rightarrow \; \frac{du}{\ln(2)} = dx $
Reemplazamos en la integral:
$ \int 2^x \, dx = \int e^{x\ln(2)} \, dx = \int e^u \, \frac{du}{\ln(2)} = \frac{1}{\ln(2)} \int e^u \, du = \frac{1}{\ln(2)} e^u + C $
Finalmente, reemplazamos $u$ de nuevo por $x\ln(2)$:
$ \frac{1}{\ln(2)} e^{x\ln(2)} + C = \frac{1}{\ln(2)} 2^x + C $
El resultado entonces es
$ \int 2^x \, dx = \frac{1}{\ln(2)} 2^x + C $
En general, esta "fórmula" a que acabamos de llegar la podemos usar siempre que querramos integrar un número elevado a la $x$. Entonces por ejemplo,
$ \int 3^x \, dx = \frac{1}{\ln(3)} 3^x + C $
y así...
Pregunta: ¿Qué pasa cuando el número es $e$? ¿Se cumple que $\int e^x dx = e^x$?