Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
CABANA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.6.
Usando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales:
b) $\int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta$
b) $\int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta$
Respuesta
⚠️ Vuelvo a repetir por las dudas, para resolver este ejercicio es clave que hayas visto primero la clase de integración por partes!
Reportar problema
Ahora vamos a resolver la integral
$\int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta$
Esta integral también sale por partes. Recordemos la fórmula:
$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $
En este caso, tomamos:
$ g = \theta^{2} \rightarrow g' = 2\theta $
$ f' = \sin(\theta) \rightarrow f = -\cos(\theta) $
Reemplazamos en la fórmula de partes:
$ \int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta = \theta^{2} (-\cos(\theta)) - \int (-\cos(\theta))(2\theta) d \theta $
$ \int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta = -\theta^{2} \cos(\theta) + 2 \int \theta \cos(\theta) d \theta $
La nueva integral que nos quedó ahí, $\int \theta \cos(\theta) d \theta$, también la resolveremos por partes. De hecho lo acabamos de hacer en el item anterior jaja y vimos que daba:
$ \int \theta \cos(\theta) d \theta = \theta \cdot \sin(\theta) + \cos(\theta) $
(sólo cambia la variable, que en vez de ser $x$ es $\theta$, lo ves?)
Reemplazamos entonces en nuestra integral:
$ \int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta = -\theta^{2} \cos(\theta) + 2 \int \theta \cos(\theta) d \theta = -\theta^{2} \cos(\theta) + 2 \cdot [\theta \cdot \sin(\theta) + \cos(\theta)] + C $
Por lo tanto, el resultado es
$\int \theta^{2} \sin(\theta) d \theta = -\theta^{2} \cos(\theta) + 2 \cdot [\theta \cdot \sin(\theta) + \cos(\theta)] + C $