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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.6.
Usando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales:
d) $\int \sqrt{t} \ln(t) d t$
d) $\int \sqrt{t} \ln(t) d t$
Respuesta
La integral
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$\int \sqrt{t} \ln(t) d t$
también la vamos a resolver por partes.
$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $
En este caso tomamos:
$ g = \ln(t) \rightarrow g' = \frac{1}{t} $
$ f' = \sqrt{t} \rightarrow f = \int t^{\frac{1}{2}} \, dt = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} $
Reemplazamos en la fórmula de partes:
$ \int \sqrt{t} \ln(t) dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \cdot \ln(t) - \int \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{t} \, dt $
Atenti adentro de esa integral, reglas de potencias, nos queda:
$ \int \sqrt{t} \ln(t) dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{2}{3} \int t^{\frac{1}{2}} dt $
Esa integral justo ya la resolvimos más arriba, sale por tabla, reemplazamos el resultado:
$ \int \sqrt{t} \ln(t) dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{2}{3} \int t^{\frac{1}{2}} dt =\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{4}{9}t^{\frac{3}{2}} $
Por lo tanto, el resultado de la integral es
$ \int \sqrt{t} \ln(t) dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \ln(t) - \frac{4}{9}t^{\frac{3}{2}} + C $